命题学校：定南中学

试卷说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）

A.①用随机抽样法，②用系统抽样法 B.
①用分层抽样法，②用随机抽样法

C.①用系统抽样法，②用分层抽样法 D.①用分层抽样法，②用系统抽样法

2．设
是两个不同的平面，
是一条直线，以下命题正确的是（ ）

A．若
，则
( B．若
，则
(

C．若
，则
D．若
，则

3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )

（A）10 （B）11 （C）12 （D）16

4．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表
所示：

身高x(cm)

160

165

170

175

180[来源:Zxxk.Com]



体重y(kg)

63

66

70

72

74



根据上表可得回归直线方程
，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为(　 )

A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg

5．边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．在区间[0,
]上随机取一个数
,则事件 “
”发生的概率为（ ）

A．
B.
C.
D.1

7．如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填（ ）

A. i≥10 B. i≥11 C. i≤11 D. i≥12

8．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人

最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况

如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是
，
，

则下列说法正确的是( )

A．
，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

B．
，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛

C．
，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛

D．
，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　 　)

A.
B.
C.
D.

10．如图所示的几何体中，四边形
是矩形，平面
⊥平面
，已知
，且当规定主(正)视图方向垂直平面
时，该几何体的左(侧)视图的面积为
.若
分别是线段
上的动点，则
的最小值为(
)

A.1
B.2 C.3 D.4

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，

则输出的s值等于 ．

12．已知
，

，若向区域
上

随机投掷一点
，则点
落入区域
的概率为 ．

13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形
是边长为
的正方形，则这个四面体的主视图的面积为________
.

14．定义点
到直线
的有向距离为
.已知点
到直线
的有向距离分别是
，给出以下命题：

①若
，则直线
与直线
平行；②若
，则直线
与直线
平行；

③若
，则直线
与直线
垂直；④若
，则直线
与直线
相交；其中正确
命题的序号是 .

15．如图，在三棱锥
中，
两两垂直，且

．设点
为底面
内一点，定义
，

其中
分别为三棱锥
、
、
的体积．若

，且
恒成立，则正实数
的取值范围是___________．

三、解答题（本大题有6小题，共75分，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
）

16．(12分) 某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环、7环的概率分别是0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：

（1）射中10环或7环的概率； （2）不够9环的概率．

17．(12分) 如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，其中

，
，
为
的中点．

(1) 求证：
；

(2) 求证：
；

(3) 若平面
平面
,且
为
的中点，求四棱锥
的体积．

18．(12分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为
，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为
，求
的概率．

19．(12分) 等边三角形
的边长为
，沿平行于
的线段
折起，

使平面
平面
，设点
到直线
的距离为
，
的长为
．

（1）
为何值时，
取得最小值，最小值是多少；

（2）若
，求
的最小值．

20．(13分) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，
， [140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．

（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；

（Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110
)的中点值为
＝105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；

（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

21．(14分) 如图，长方体
中，

为
的中点

（1）求证：
；

（2）求点
到面
的距离；

（3）设
的重心为
，问是否存在实数
，使得
且
同时成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。

2013-2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考

高二年级数学（理科）参考答案及评分标准

（2）
，
为中点，

　　　　　　　　　　　　　 …………4分

连
，在
中，
，
，

为等边三角形，
为
的中点，

, 　　　　　　　　　　　　　…………5分

,
平面
,
平面
,

(三个条件少写一个不得该步骤分)
…………6分

平面
. 　　　　　
　　　　　　　　 …………7分

（3）连接
,作
于
. 　　　　　　　　[来源:学,科,网Z,X,X,K]

,
平面
,

平面
平面ABCD
,

平面
平面ABCD，

,

,

.

　

,

又
,
.　

在菱形
中，
,

方法一:

, 　

.　

．　 …………12分

方法二:

， 　　　　　　　　　

,

…………12分

18.解：（Ⅰ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：

共6个.……………………………………3分

从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有：

有两个.

因此所求事件的概率为
.……
……………………………………………6分

（Ⅱ）先从袋中随
机取一个球，记下编号为
，放回后，再从袋中随机取一个球，

记下编号为
，其一切可能的结果
有：

共16个. ……9分

满足条件
的事件为


共3个
，所以满足条件
的事件的

概率
，故满足条件
的事件的概率为
.………………12分

19.解：如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后空间图形。

[来源:学科网ZXXK]

[来源:学|科|网]

20.解：（Ⅰ）

………………………………３分

（Ⅱ）

……7分

（Ⅲ）由题意，

…………………………………………8分

∵用分层抽样的方法在分数段
为
的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴需在
分数段内抽取2人，并分别记为
;在
分数段内抽取4人，并分别记为
;……………………………………………………………9分

设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段
内”为事件A，则基本事件共有：

…

…

…
共15种.

则事件A包含的基本事件有:

共9种. …………………
……………………………………………… 12分

∴
.………………………………………………………………… 13分

21.

[来源:Zxxk.Com]