一、选择题：（每小题5分，共60分）

1.已知下列三个命题：①方程
的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（ ）[来源:学科网ZXXK]

A.①和② B.①和③ C.②和③ D.只有①

2.设抛物线
上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

3
. 对于常数
、
，“
”是“方程
的曲线是椭圆
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既
不充分也不必要条件

4.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)

A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线

5.已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM

的周长为（ ）[来源:Z+xx+k.Com]

A.4 B.8 C.12 D.16

6.抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是（ ）

A.
B.
C.
D.

7.若
，则双曲线
与
有（ ）

8.双曲线
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，

且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A.（1，3） B.（1，3
C.（3，+∞） D. [3，+∞）

9
若直线
与双曲线
的右支交于不同的两点，那么
的取值

范围是（ ）

A.（
） B.（
） C.（
） D. （
）

10. 过双曲线
的右焦点作直线
交曲线于A、B两点,若

则

这样的直线存在（ ）

A. 0条 B. 1条 C. 2条 D.3条

11.
是椭圆
的两个焦点，
为椭圆上一点，且∠
，

则Δ
的面积为（ ）

A.
B.
C.
D．

12.双曲线
的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是该双曲线右

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13.已知实数
构成一个等比数列，
为等比中项，则圆锥曲线
的

离心率是 .

14.在平面直角坐标系
中，已知
的顶点
和
，若顶点
在

双曲线
的左支上，则
.

15.平行四边形
的顶点
、
的坐标分别为
、
，顶点
在直线

上移动，则顶点
的轨迹方程为 .

16.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=30°，AB，AC边上的高分别为CD，BE，

则以B，C为焦点且经过D、E两点的椭圆与双曲线的离心率的和为 ____ .

三、解答题：（共70分）

17.(10分)已知
，若非
是非
的充分而不必要条件，
求实数
的范围.

18.(12分)已知双曲线
和椭圆
有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的
倍
，求双曲线的方程。

19. (12分)已知点

，点
在
轴上，点
在
轴上，且

。

当点
在
轴上移动时，求动点
的轨迹方程。

20.(12分)已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别是
的左、右顶点，而
的左、右顶点分别是

的左、右焦点。

（1）求双曲线
的方程；

（2） 若直线
与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
（其中O为原点），求
的范围。

21.(12分)已知椭圆方程为
，它的一个顶点为
，离心率
.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线
与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线
的距离为
，求△AOB面积的最大值．

22.(12分)在平面直角坐标系
中,已知双曲线
.

（1）过
的左顶点引
的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及
轴围成的三角形的面积;

（2）设斜率为1的直线
交
于P、Q两点,若
与圆
相切,

求证:OP⊥OQ;

2013-2014学年高二上学期阶段性考试数学理试题答案

三、解答题：

17.解:设集合

，2分

集合

4分

因为非
是非
的充分而不必要条件，

所以
是
的充分而不必要条件,6分

所以
, 8分 即
。 9分

综上，实数
的范围是
. 10分

18.解:椭圆中，
，离心率
， 4分

双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的
倍，
双曲线中，
，

② 8分

把②代入①，得
。 10分

所以，动点
的轨迹方程
为
.12分

20.解：（1）设双曲线
的方程为
… 1
分

则
，再由
得
… 2分

故
的方程为
…… 3分

（2）将
代入

得
…… 4分

由直线
与双曲线C2交于不同的两点得：

6 分

且
① … 7分

设
，则

又
，得

即
，解得：
② …10分

由①、②得：

故k的取值范围为
……12分

21. 解：（1）设
，依题意得

… ………2分

解得
…….3分

椭圆的方程为
… ……….4分

（2）①当AB

…… …5分

②当AB与
轴不垂直时，设直线AB的方程为

，

由已知
得
… …..6分

代入椭圆方程，整理得[来源:Z_xx_k.Com]

……… 7分

[来源:学科网ZXXK]

[来源:学&科&网]

当且仅当
时等号成立，

此时
… 10分

③当
… ……..11分

综上所述：
，

此时
面积取最大值

…… 12分

22. 解：（1）双曲线
,左顶点
,渐近线方程:
. 1分

过点A与渐近线
平行的直线方程为

,即
. 2分

解方程组
,得
3分

所求三角形的面积为
4分

(2)设直线PQ的方程是
.

因直线与已知圆相切, 故
,即
5分

由
,得
. 6分

设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则
.

又
,所以

, 故OP⊥OQ 8分

(3)当直线ON垂直于x轴时, |ON|=1,|OM|=
,则O到直线MN的距离为
. 9分

当直线ON不垂直于x轴时, 设直线ON的方程为
(显然
),则直线OM的方程为
.

由
,得
,

所以
. 同理
10分

设O到直线MN的距离为d,因为

, 11分

所以
,即d=
.

综上,O到直线MN的距离是定值。 12分