丰润区2013—2014学年度第一学期高二期中考试

数学答案

(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立．………8分

连接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且
∴BD⊥平面PAC，………10分

当E在PC上运动时，
，∴BD⊥AE恒成立．………12分

19. 解：（1）
；
，∴
，则

∴△ABC为直角三角形…………6分

（2）∵△ABC为直角三角形，∴△ABC外接圆圆心为AC中点M
，

半径为r=
，

∴△ABC外接圆方程为
…………12分

20. 证明：（1）∵
是等腰直角三角形 AB=BC

∴ AB⊥BC …………1分

又∵ AB⊥BD

…………2分

∴ AB⊥面BCD …………………………3分

又∵

∴ AB⊥CD………………………………4分

又∵
是等腰直角三角形 BC=CD

∴ CD⊥BC………………………………5分

又∵

∴ CD⊥面ABC………………………………7分

又∵
∴
……………………8分

（2）∵ CD⊥面ABC

∴ AC为直线AD在平面ABC内的射影

∴
为直线AD与平面ABC所成的角 ………………10分

设
，则
，

∴在
中，
. …………11分

∴ 直线AD与平面ABC所成角的余弦值为
.…………12分

21. 解：（Ⅰ）设圆心为
（
）．

由于圆与直线
相切，且半径为
，所以，
，

即
．

因为为整数，故
．

故所求的圆的方程是
．

(Ⅱ）直线
即
．代入圆的方程，消去整理，得

．

由于直线
交圆于
两点，故
，

即
，解得
，或
．

所以实数的取值范围是
．

22. 解：（1）证明：平面
平面
,
,

平面
平面
=
，
平面
，

平面
，
,

又
为圆
的直径，
，

平面
。 ……………………　4分

（2）设
的中点为
，则


，又


，

则


，
为平行四边形，

，又
平面
，
平面
，

平面
。 ……………………　8分

(3)过点作
于
，平面
平面
，

平面
，
，

平面
，

，

． ………………　12分