考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）

1、已知集合
，
，则
∩
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2、下列四个命题中，真命题是（ ）

A．
是偶数且是无理数 B．

C．有些梯形内接于圆 D．
，

3、复数
的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知
，
是实数，则“
且
”是“
且
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5、命题“两直线平行，同位角相等”的否命题是（ ）

A．同位角相等，两直线平行 B．两
直线不平行，同位角不相等

C．同位角不相等，两直线不平行 D．两直线平行，同位角不相等

6、曲线
在点
处的切线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

7、不等式
的解集记为
，关于
的不等式
的解集记为
，已知
是
的充分不必要条件，则实数

的取值范围是（ ）

A．
B.
C．
D．

8、下列说法错误的是（ ）

A．如果命题“﹁
”与命题“
∨
”都是真命题，那么命题
一定是真命题

B．命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”

C．若命题
：
，
，则﹁
：
，

D．“
”是“
”的充分不必要条件

9、已知
，则
的最小值是
（ ）

A．
B．
C．
D．

10、已知变量
、
满足约束条件
,则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11、已知
、
为互不相等的两个正数，下列四个数
，
，
，
中，最小的是（ ）

A．
B.
C.
D.

12、设
、
满足约束条件
，若目标函数
（
，
）的最大值为
，则
的最小值为 ( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）

13、不等式
的解集为 .

14、已知
且
，则
的取值范围是______ _.[来源:学科网]

15、已知命题
：
，
，命题
：
，
，若命题“
且
”是真命题，则实数
的取值范围为 .

16、若
，
，
，则下列不等式对一切满足条件的
，
恒成立的

是 (写出所有正确命题的编号)．

①
； ②
； ③
； ④
； ⑤

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.）

17(本题满分10分)

已知全集
，非空集合
＜
，
＜
.

(Ⅰ)当
时，求
；

(Ⅱ)命题
，命题
，若
是
的必要条件，求实数
的取值范围.

18(本题满分12分)

命题
：实数
满足
,（其中
）

命题
：实数
满足
.

(Ⅰ)若
且
为真，求实数
的取值范围；

(Ⅱ)若
是

的充分不必要条件,求实数
的取值范围.

19(本题满分12分)

已知常数
，解关于
的不等式
.

20(本题满分12分)

已知函数
，当
时
，
取得极小值
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值和最小值.

21(本
题满分12分)

已知曲线
：
（
为参数），
：
（

为参数）.

（Ⅰ）化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(Ⅱ) 若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线

：
（
为参数）距离的最小值.

22(本题满分12分)

在直角坐标系
中，设倾斜角为
的直线

：
（
为参数）

与曲线
：
(
为参数) 相交于不同两点
，
.

（Ⅰ）若
，求线段
中点
的坐标；

（Ⅱ）
若
，其中
，求直线
的斜率．

大庆铁人中学2012－2013学年度下学期高二期中考试

数学（文）试题 答案 2013.5

一、选择题：

解析：9、已知
，则
的最小值是（ C ）

A．
B．
C．
D．

解析：因为
当且仅当
，且 ，即
时，取“=”号.

12、设
、
满足约束条件
，若目标函数
（
，
）的最大值为
，则
的最小值为 ( A ) [来源:学。科。网]

A.
B.

C.
D.

解析 ： 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,

当直线ax+by= z（a>0，b>0）

过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,[来源:学.科.网]

目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,

即4a+6b=12,即2a+3b=6,

而
=
,故选A.

【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区
域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求
的最小值常用乘积进而用基本不等式解答.

（2）由若
是
的必要条件，即
，可知

由
，

，解得
或

综上，
的取值范围是
.

18、设
：实数
满足
,其中
,命题
：实数
满足
.

(Ⅰ)若
且
为真，求实数
的取值范围；

(Ⅱ)若
是

的充分不必要条件,求实数
的取值范围.

【答案】

解：由
得
，

又
,所以
,

(Ⅰ)当
时，

,即
为真时实数
的取值范围是

.

由
,得
,即
为真时实数
的取值范围是
. [来源:Zxxk.Com]

若
为真，则
真且
真，则得

综上，实数
的取值范围是
.

(Ⅱ)
是
的充分不必要条件，即


,且


,

设
,
,则


,

又
=
,
=
}，

则

,且

所以实数
的取值范围是
.

综上，
的取值范围为
.

19、已知常数
，解关于
的不等式
.

【答案】

解：（1）当
时，解为
；

（2）当
时，

当
时，解集为
；

当
时，解集为
；

当
时，解集为
.

20、已知函数
，当
时，
取得极小值
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值和最小值.

【答案】

解：（Ⅰ）已知函数

，则

因为当
时函数
极小值为
，

所以
,解得
，

所以
；

（Ⅱ）因为
，当
时
，

所以函数
在
上单调递增，

所以
，
.

21、已知曲线
：
（
为参数），
：
（
为参数）.

（Ⅰ）化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(Ⅱ) 若
上的点
对应的参数为
，
为
上的动点，求
中点
到直线

：
（
为参数）距离的最小值.

【答案】

解：（Ⅰ）

为圆心是（
，半径是
的圆.

为中心是坐标原点，焦点在
轴上，长半轴长
是
，短半轴长是
的椭圆.

（Ⅱ）当
时，
，
.故
，

为直线
，
到
的距离

=

其中
满足
，
，由三角函数性质知，当
时，

所以，点
的坐标为
.