1（1）已知直线
的极坐标方程是
．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线
上求一点，使它到直线
的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

（2）将12cm长的细铁线截成三条长度分别为、
、的线段，

（I）求以、
、为长、宽、高的长方体的体积的最大值；

（II）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值。

2.在平面直角坐标系中，角，
的始边为轴的非负半轴，点
在角的终边上，点
在角
的终边上，且
.

（1）求
；

（2）求
的坐标并求
的值.

3.已知几何体
的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）若几何体
的体积为
，求实数的值；

（2）若
，求异面直线
与
所成角的余弦值；

（3）是否存在实数，使得二面角
的平面角是
，若存在，请求出值；若不存在请说明理由．

4.有一种新型的奇强洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放
,且
个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为
,其中
．若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时,它才能起到有效去污的作用．

（1）若只投放一次
个单位的洗衣液，2分钟时水中洗衣液的浓度为3（克/升），求
的值?

（2）若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?

（3）若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液，在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？能，请加以证明；不能，请说明理由．

5.如图， A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟）

10~20

20~30

30~40

40~50

50~60



L1的频率

0．1

0．2

0．3

0．2

0．2



L2的频率

0

0．1

0．4

0．4

0．1



现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。

6.已知点
（
）,过点作抛物线
的切线，切点分别为
、
。

（1）若过点P的切线的斜率为1，求的值；

（2）证明
成等差数列；

（3）若以点为圆心的圆与直线
相切，求圆面积的最小值．

7.已知函数
（
）．

（1）若函数
在区间
上是单调递增函数，试求实数的取值范围；

（2）当
时，求证：
（
）；

（3）求证：

（
且
）．