一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．

1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝
BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）

A．60° B．90° C．105° D．75°

2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝
，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）



A．
B．
C．
D．

3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）



A．
B．
C．
D．

4．正四棱锥
的高
，底边长
，则异面直线
和
之间的距离（ ）

A．
B．
C ．
D．

5．已知
是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱
的中点．点
到平面
的距离（ ）



A．
B．
C．
D．

6．在棱长为的正方体
中，则平面
与平面
间的距离（ ）

A．
B．
C ．
D．

7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝
PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（ ）

A．
B．
C
D．

8．在直三棱柱
中，底面是等腰直角三角形，
，侧棱
，D，E分别是
与
的中点，点E在平面ABD上的射影是
的重心G．则
与平面ABD所成角的余弦值（ ）

A．
B．
C．
D．

9．正三棱柱
的底面边长为3，侧棱
，D是CB延长线上一点，且
，则二面角
的大小（ ）

A．
B．
C ．
D．

10．正四棱柱
中，底面边长为
，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，
．则三棱锥
的体积V（ ）

A．
B．
C ．
D．

11．有以下命题：

①如果向量
与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么
的关系是不共线；

②
为空间四点，且向量
不构成空间的一个基底，则点
一定共面；

③已知向量
是空间的一个基底，则向量
也是空间的一个基底。其中正确的命题是：（ ）

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

12. 如图：在平行六面体
中，
为
与
的交点。若
，
，
则下列向量中与
相等的向量是（ ）

（A）
(B)

（C）
（D）

二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共30分）．

13．已知向量
，
，
且
，则
= ____________.

14．在正方体
中，为
的中点，则异面直线
和
间的距离 ．

15． 在棱长为的正方体
中，、分别是
、
的中点，求点到截面
的距离 ．

16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 ．

17．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共60分）．

18．（15分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小

19．（15分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．

20．（15分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；

（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

21．（15分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．

（1）求证：E、F、D、B共面；

（2）求点A1到平面的BDEF的距离；

（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．

参考答案

一、1．C；2．A；3．B；4．A；5．A；6．C；7．A；8．B； 9．D；10．B； 11．A；12．C；

二、13．3 14．
15．
16．1； 17．

三、

所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos
或－arccos
．

19．证明：如图建立空间直角坐标系，

则
＝（－1，1，0），
＝（－1，0，－1）

＝（1，0，1），
＝（0，－1，－1）

　　　设
，
，
（
、、
，且均不为0）

所以平面A1EF∥平面B1MC．

20．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．

（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．

∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．

于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由

21．解：（1）略．

（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,

则知B（1，1，0），

设

得
则

令
．

设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．