2013年高二统考理科数学试题答案

选择题：DCBBCDCC

填空题：

9、
10、
11、0

12、三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差，（本题可以酌情给分，得分0分，4分，5分）（对于文字表达不太规范的可以考虑给4分）

13、
14、
15、

解答题：

16、解：（Ⅰ）设数列
的首项为a1，公差为d．

则
………………4分

∴
， ………………5分

∴
．………………6分

∴ 前项和

． ………………7分

（Ⅱ）∵
， ∴
，且

………………8分

当n≥2时，
为定值， ………………9分

∴ 数列
构成首项为，公比为
的等比数列． ………………10分

所以 （1）当
，即
时，
………………11分

（2）当
，即
时数列
的前n项的和是

． ………………12分

17、（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好. ………………………………4分

（Ⅱ）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
，………………………………………………………………………5分

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
，…………………………………………………………… ………6分

在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为
.

………………………………………………………………… ……… ………8分

(Ⅲ)
的取值为
，…………………………… ……… …………9分

，
，

的分布列为： ……………………11分



1















数学期望
……………………12分

18、解:
…………………………… ……… …………1分

.………………… ……… …………3分

（Ⅰ）函数
的最小正周期
. ………………………… ……… …………4分

（Ⅱ）解法一：由已知得
， ………………… …………6分

两边平方，得
所以
………………… …………7分

因为
，所以
.………………… …………8分

所以
. ………………… …………9分

解法二：因为
，所以
. ………………… …………5分

又因为
，…………… …………6分

得
. 所以
. ………… …………7分

所以，

. ………………… …………9分

(Ⅲ)因为
……… …………10分

所以
，又因为
为锐角三角形，所以
……… …………11分

所以由
,且
得到：
……… …………12分

所以
，且
的面积

………………14分

19、证明：(I) 因为
是正三角形，
是
中点，

所以
,即
………………1分

又因为
，
平面
，
………………2分

又
，所以
平面
………………3分

又
平面
，所以
………………4分

（Ⅱ）在正三角形
中，
………………5分

在
中，因为
为
中点，
，所以

，所以
，所以
………………6分

在等腰直角三角形
中，
，
，

所以
，
，所以
………………8分

又
平面
，
平面
，所以
平面
………………9分

（Ⅲ）因为
，

所以
，分别以
为轴, 轴,轴建立如图的空间直角坐标系，

所以
………………10分

由（Ⅱ）可知，
为平面
的法向量………………11分

，

设平面
的一个法向量为
,

则
，即
，

令
则平面
的一个法向量为
………………12分

设二面角
的大小为 (显然为锐角)，

则

所以二面角
余弦值为
………………14分

20、解：(Ⅰ)设椭圆C的半焦距为c ,由题意可知道：

， 解得
……… …………3分

又因为
，所以

所以椭圆的方程为
……… …………6分

（Ⅱ）依题意
,直线
的方程为
,……… …………7分

因为
,所以
到直线
的距离为
,…………………8分

所以点
在与直线
平行且距离为
的直线
上,

设
, 则
,解得
……… …………10分

当
时,由
,

消元得
,即
……… …………12分

又
,所以
,相应的也是整数,此时满足条件的点
有个.

当
时,由对称性,同理也得满足条件的点
有个. ……… …………13分

综上,存在满足条件的点
,这样的点有
个. ……… …………14分

21、解：(Ⅰ)由题意可知：函数
的定义域为
，……… …………1分

且
……… …………2分

设
恒成立

所以
对任意
恒成立，

函数
在定义域上是增函数；……… …………3分

(Ⅱ) ① 显然由(Ⅰ)可知：当b>
时，函数无极值点；……… …………4分

②当
时，
恒成立，

所以函数在定义域上单调递增，无极值点；……… …………5分

③当
时，
有两个不同的解

，

（A）显然
时，
，
，即

时，
的变化情况如下表：











-

0

+





单调递减

极小值

单调递增



由此表可知：当
时，
有唯一的极小值点
……7分

(B)当
时，
，

此时
的变化情况如下表：















+

0

-

0

+





单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增





由此表可知：当
时，
有一个的极大值点
，

一个的极小值点
……… …………9分

综上：①当
时，
有唯一的极小值点
②当
时，
有一个的极大值点
，一个的极小值点

③当
时，函数
无极值点……… …………10分

（Ⅲ）当
时，函数
，令

则
，……… …………11分

所以当
时，
，所以函数
在
上是增函数，所以当
时，

即
恒成立，故当
时，
。……………13分

所以对任意正整数，取
，则有不等式
都成立…14分