北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高二期末考试

数学试卷（理科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.
是虚数单位，若复数
满足
，则
等于

A.
B.
C.
D.

2. 甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是
，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第3个路口才首次遇到红灯的概率是

A.
B.
C.
D.

3. 函数
的图象在点（2，
）处的切线方程是

A.
B.

C.
D.

4. 从0，1，2，3，4中随机选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数有

A. 9个 B. 10个 C. 11个 D. 12个

5. 设函数
的导函数为
，若
为奇函数，则有

A.
，
B.

C.
D.

6. 已知一个二次函数的图象如图所示，那么它与
轴所围成的封闭图形的面积等于

A.
B.
C.
D.

7. 将4名男生和4名女生随机地排成一行，那么有且只有2名男生相邻的概率是

A.
B.
C.
D.

8. 已知函数
，若同时满足条件：

①
，
为
的一个极大值点；

②


，
。

则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

9.
的二项展开式中的常数项为__________。（用数字作答）

10. 如果函数
，那么
__________。

11. 已知某随机变量X的分布列如下（
）：

X

1

－1



P







 且X的数学期望
，那么X的方差D（X）＝__________。

12. 已知函数
的图象在
和
处的切线互相平行，则实数
__________。

13. 有5名男医生和3名女医生，现要从中选6名医生组成2个地震医疗小组，要求每个小组有2名男医生和1名女医生，那么有__________种不同的组队方法。（用数字作答）

14. 设函数
，其中
，且
，给出下列三个结论：

①函数
在区间（
）内不存在零点；

②函数
在区间（
）内存在唯一零点；

③设
为函数
在区间（
）内的零点，则
。

其中所有正确结论的序号为__________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分13分）

甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为
，
，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响。

（I）如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；

（II）如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率。

16. （本小题满分13分）

设函数
，且
，其中
，2，3，…。

（I）计算
的值；

（II）猜想数列
的通项公式，并用数字归纳法加以证明。

17. （本小题满分13分）

已知函数
。

（I）求函数
的单调区间；

（II）设
，求函数
在区间
上的最小值。

18. （本小题满分13分）

箱中装有4个白球和
个黑球。规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等。记随机变量X为取出的3个球所得分数之和。

（I）若
，求
的值；

（II）当
时，求X的分布列和数字期望E（X）。

19. （本小题满分14分）

请先阅读：

设平面向量
，且
与
的夹角为
，

因为
，

所以
。

即
，

当且仅当
时，等号成立。



 （I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意
，
，
，
，都有
成立；

（II）试求函数
的最大值。

20. （本小题满分14分）

已知函数
，
。

（I）求函数
的解析式；

（II）若对于任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；

（III）设
，
，且
，求证：
。

【试题答案】

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A 8. A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 160 10.
11.
12. －1 13. 90 14. ②③

注：第14题多选、少选均不得分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分）

15. （本小题满分13分）

（I）解：记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A。（1分）

因为甲每次投篮命中的概率为
，

所以甲投篮一次且没有命中的概率为
。（2分）

同理，乙投篮一次且没有命中的概率为
。（3分）

所以
。

答：甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中的概率为
。（6分）

（II）解：记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B。（7分）

因为甲每次投篮命中的概率为
，

所以甲投篮3次，且都没命中的概率为
，（9分）

甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为
（11分）

所以
。

答：甲投篮3次，且至多有1次投篮命中的概率为
。（13分）

16. （本小题满分13分）

（I）解：由题意，得
，（1分）

因为
，

所以
，
。（3分）

（II）解：由
，猜想
（5分）

以下用数字归纳法证明：对任何的
，

证明：①当
时，由已知，左边
，右边
，所以等式成立。（7分）

②假设当
时等式成立，即
，（8分）

则
时，
。

所以当
时，猜想也成立。（12分）

根据①和②，可知猜想对于任何
都成立。（13分）

17. （本小题满分13分）

（I）解：因为
。（2分）

令
，解得
。（3分）

当
变化时，
与
的变化情况如下表：











－

0

＋







极小值





（5分）

所以函数
在（
）上单调递减，在
上单调递增。（6分）

（II）解：当
时，

因为函数
在（
）上单调递减，

所以当
时，函数
有最小值
。（8分）

当
时，

因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，

所以当
时，函数
有最小值
。（10分）

当
时，

因为函数
在（
）上单调递增，

所以当
时，函数
有最小值
。（12分）

综上，当
时，函数
在
上的最小值为
；

当
时，函数
在
上的最小值为
；；

当
时，函数
在
上的最小值为
。（13分）

18. （本小题满分13分）

（I）解：由题意，得取出的3个球都是白球时，随机变量
。（1分）

所以
，（3分）

即
，

解得
。（5分）

（II）解：由题意，得X的可能取值为3，4，5，6。（6分）

则
，

，

。

。（10分）

X的分布列为：

X

3

4

5

6



P











（11分）

所以
。（13分）

19. （本小题满分14分）

（I）证明：设空间向量
，且
与
的夹角为
，

因为
，

所以
，（3分）

即
（6分）

所以
，

当且仅当
时，等号成立。（7分）

（II）解；设空间向量
，
，且
与
的夹角为
，（9分）

因为
，

所以
，

即
，（12分）

当且仅当
（即
与
共线，且方向相同）时，等号成立。

所以当
时，即
时，函数
有最大值
。（14分）

20. （本小题满分14分）

（I）解：因为
，

所以
。（2分）

令
，得
，

所以

。

（II）解：设

，

则

，（5分）

令
，解得
。（6分）

当
变化时，
与
的变化情况如下表：

（0，1）

1







＋

0

－







极小值





 所以当
时，
。（8分）

因为对于任意
，都有
成立，

所以
。（9分）

（III）证明：由（II），得
，即
，

令
，得
，

令
，得
，（11分）

所以

因为
，

所以
，（13分）

所以
，

即
，

所以
，

所以
（14分）