北京市西城区（北区）2012－2013学年下学期高二期末考试

数学试卷（文科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集
，集合
，
，那么集合
等于

A.
B.
C.
D.

2.
是虚数单位，若复数
满足
，则
等于

A.
B.
C.
D.

3. 函数
的图象在点（2，
）处的切线方程是

A.
B.

C.
D.

4. 设
，则“
”是“
”的

A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件

C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件

5. 设函数
的导函数为
，如果
为偶函数，则一定有

A.
，
B.

C.
D.

6. 对于
，函数
满足
，
，若当
时，
，则
等于

A.
B.
C.
D.

7. 如果数列
对任意
满足
，且
，那么
等于

A. 1024 B. 512 C. 510 D. 256

8. 已知函数
，若同时满足条件：

①
，
为
的一个极大值点；

②


，
。

则实数
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

9. 已知命题
，
，那么命题
为___________。

10. 数列
满足
，则
___________，
___________。

11. 设
，则实数
的大小关系是___________。

12. 设数列
的前
项和为
，且对于任意
，都有
成立，则
___________。

13. 已知函数
的图象在
和
处的切线互相平行，则实数
___________。

14. 设函数
，其中
，且
，给出下列三个结论：

①函数
在区间（
）内不存在零点；

②函数
在区间（
）内存在唯一零点；

③
，且
，函数
在区间
内存在零点。

其中所有正确结论的序号为__________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分13分）

设
，集合
，
，

（I）当
时，求集合
；

（II）若
，求实数
的取值范围。

16. （本小题满分13分）

设等差数列
的前
项和为
，且
，
，数列
满足
，

其中
。

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前
项和
。

17. （本小题满分13分）

已知函数
，其中
。

（I）求证：函数
为奇函数；

（II）若
，求函数
的极值。

18. （本小题满分13分）

某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年需各种费用4万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加2万元。

（I）写出该渔船前四年每年所需的费用（不含购买费用）；

（II）假设该渔船在其年平均花费额（含购买费用）最低的时候报废，试求此渔船的使用年限？

19. （本小题满分14分）

设函数
，且
，其中
，2，3，…。

（I）计算
的值；

（II）设
，求证：数列
为等比数列；

（III）求证：
。

20. （本小题满分14分）

已知函数
，
。

（I）求函数
的解析式；

（II）若对于任意
，都有
成立，求实数
的取值范围；

（III）设
，
，且
，求证：

。

【试题答案】

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. B 2. D 3. D 4. A 5. C 6. B 7. A 8. A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

9.
，
10. 1，3 11.

12.
13. －1 14. ②③

注：第10题第一个空2分，第二个空3分；第14题少选得2分，多选和错选均不得分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分）

15. （本小题满分13分）

（I）解：因为集合
，（2分）

集合
，（4分）

所以
。（7分）

（II）解：集合
（
），（9分）

因为
，

所以
（11分）

解得
。

所以
。（13分）

16. （本小题满分13分）

（I）解：设等差数列
的公差为
，

由
，得
，①（2分）

由
，得
，②（4分）

根据①，②解方程，得
，（5分）

所以
。（6分）

（II）解：由（I），得
，

所以
。（8分）

所以
，①

则
，②

由①－②，得
，（11分）

所以
，

所以数列
的前
项和
。（13分）

17. （本小题满分13分）

（I）解：函数
的定义域为
。（1分）

因为
，

所以函数
为奇函数，（5分）

（II）解：因为
，

所以
。（8分）

令
，解得
。（9分）

当
变化时，
与
的变化情况如下表：

（
，－1）

－1

（－1，0）

（0，1）

1

（1，
）





＋

0

－

－

0

＋







极大值





极小值





（11分）

所以当
时，
有极大值
，当
时，
有极小值
。（13分）

18. （本小题满分13分）

（I）解：设第
年所需费用为
（单位万元），

则
，（2分）

（II）解：设该渔船使用了
年，其总花费为
万元，

则
，（5分）

所以该渔船的年平均花费额为
，（8分）

因为

，

所以当
，即
时，年平均花费额W取得最小值23。（12分）

答：此渔船的使用年限为10年。（13分）

19. （本小题满分14分）

（I）解：由题意，得
，（1分）

因为
，

所以
，
，（3分）

（II）证明：因为
，

所以
。

所以数列
是首项
，公比为
的等比数列，（7分）

（III）由（II），得
，（8分）

所以
。（9分）

因为
，

且当
时，
，
，

所以
，即
。（12分）

因为
，

所以
。

综上，对于任意
，都有
。（14分）

20. （本小题满分14分）

（I）解：因为
，

所以
。（2分）

令
，得
，

所以

。（4分）

（II）解：设

，

则

，（5分）

令
，解得
。（6分）

当
变化时，
与
的变化情况如下表：

（0，1）

1







＋

0

－







极大值





 所以当
时，
。（9分）

因为对于任意
，都有
成立，

所以
。（10分）

（III）证明：由（II），得
，即
，

令
，得
，

令
，得
，（11分）

所以

因为
，

所以
，

即
，

所以
，

即
，

所以
。（14分）