2013-2014学年度上学期期末考试

高二数学（理）试题【新课标】

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 用数学归纳法证明不等式2n>n2时，第一步需要验证n0=_____时，不等式成立（ ）

A. 5 B. 2和4 C. 3 D. 1

2.“
”是“方程
”表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3．如图，长方形的四个顶点为
，曲线
经过点
．现将一质点随机投入长方形
中，则质点落在图中

阴影区域的概率是（ ）

A．
B．

C．
D．

4. 如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第100个图形由多少个点组成（ ）

A. 9900 B. 9901 C. 9902 D. 9903

5. 抛物线
的焦点坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 设双曲线
的虚轴长为2，焦距为
，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A.
B .
C .
D.

7. 已知椭圆
(
)中，
成等比数列，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 设
，则双曲线
的离心率
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9. 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）
(0，则必有（ ）

A．f（0）＋f（2）(2f（1） B. f（0）＋f（2）(2f（1）

C. f（0）＋f（2）(2f（1） D. f（0）＋f（2）(2f（1）

10. 设
，若函数
，
，有大于零的极值点，则（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 已知
，
是区间
上任意两个值，
恒成立，则M的最小值是（ ）

A. -2 B. 0 C. 2 D. 4

12. 若
上是减函数，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13. 若正四棱柱
的底面边长为2，高为4，则异面直线
与AD所成角的余弦值是________.

14．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_________________．

15. 不等式
＞0对
恒成立，则x的取值范围是__________.

16．半径为r的圆的面积S(r)＝
r2,周长C(r)=2
r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(
r2)`＝2
r ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，类比以上结论，请你写出类似于①的式子： ②，②式可以用语言叙述为： 。

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. （本小题满分10分）

（1）求函数
在
处的切线方程；

（2）
，证明不等式

18. （本小题满分12分）

过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径。如图，

已知抛物线
，过其焦点F的直线交抛物线于

、
两点。过
、
作准线的垂线，垂足

分别为
、
.

（1）求出抛物线的通径，证明
和
都是定值，并求出这个定值；

（2）证明：
.

19．（本小题满分12分）

设函数
.

（Ⅰ）若曲线
在点
处与直线
相切，求
的值；

（Ⅱ）求函数
的极值点与极值.

20. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面

是矩形，
平面
，
，

.
于点
,
是
中点.

（1）用空间向量证明：AM⊥MC，

平面
⊥平面
；

（2）求直线
与平面
所成的角的正弦值；

（3）求点
到平面
的距离.

21. （本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率
，
.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点
的直线
与该椭圆交于
两点，且
，求直线
的方程.

22．（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）若
，求
的单调区间；

（2）若
恒成立，求
的取值范围．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

D

B

A

B

D

B

C

A

D

C



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.
14．
15.

16．
，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17. （本小题满分10分）

解：
切点P（0,1）所以，切线方程为

（2）设
则
由
得
由
得
由
得
所以
在
上是减函数，在
上是增函数函数，在
处取得最小值，即
所以

18. （本小题满分12分）

解：焦点
，准线

（1）
时
、
，通径
，
、
，是定值.

AB与x轴不垂直时，设AB：
由
得

，所以
，
是定值.

（2）
、
，

所以

方法二：由抛物线知：

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
,∵曲线
在点
处与直线
相切，

∴

（Ⅱ）∵
,

当
时，
，函数
在
上单调递增，此时函数
没有极值点.

当
时，由
，

当
时，
，函数
单调递增，

当
时，
，函数
单调递减，

当
时，
，函数
单调递增，

∴此时
是
的极大值点，
是
的极小值点.

20.如图所示，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
；设平面
的一个法向量
，由
可得：
，令
，则
。

（1）略

（2）设所求角为
，则
，

（3）由条件可得，
.在
中，
,所以
,则
,
，所以所求距离等于点
到平面
距离的
，设点
到平面
距离为
则
，所以所求距离为
。

21. （本小题满分12分）

解（I）由已知得
，解得
∴

∴ 所求椭圆的方程为
.

（II）由（I）得
、

①若直线
的斜率不存在，则直线
的方程为
，由
得

设
、
，∴
，这与已知相矛盾。

②若直线
的斜率存在，设直线直线
的斜率为
，则直线
的方程为
，

设
、
，联立
，消元得

∴
，∴
，

又∵
∴

∴

化简得
解得

∴
∴ 所求直线
的方程为
.

22．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
，其定义域是
…………1分

令
，得
，
（舍去）。 …………….. 3分

当
时，
，函数单调递增；

当
时，
，函数单调递减；

即函数
的单调区间为
，
。 ……………….. 6分

（Ⅱ）设
，则
， ………… 7分

当
时，
，
单调递增，
不可能恒成立，

当
时，令
，得
，
（舍去）。

当
时，
，函数单调递增； 当
时，
，函数单调递减；

故
在
上的最大值是
，依题意
恒成立， …………… 9分

即
，…又
单调递减，且
，………10分

故
成立的充要条件是
，所以
的取值范围是
……… 12分