2013-2014学年度上学期第三次月考

高二数学（文）试题【新课标】

（考试时间：120分钟 总分：150分）

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知命题P：2＋2＝5，命题Q:3>2,则下列判断错误的是(　　)．

A.“P∨Q”为真，“┐Q”为假 B.“P∧Q”为假，“┐Q”为假

C.“P∧Q”为假，“┐P”为假 D.“P∧Q”为假，“P∨Q”为真

2．某单位有青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为(　　)．

A．7 B．15 C．25 D．35

3.同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是(　　)．

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

4.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则一定有(　　)．

A．a1＞a2 B．a2＞a1

C．a1＝a2 D．a1，a2的大小与m的值有关

5．经过点P（4，
）的抛物线的标准方程为(　　)．

A．
B．

C．
或
D．
或

6.函数
,定义域内任取一点
，使
的概率是(　　)．

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

7、已知椭圆
的长轴在 y 轴上，且焦距为4，则 m 等于(　　)．

A、4 B、5 C、7 D、8

8、抛物线
上与焦点的距离等于8的点的横坐标是(　　)．

(A) 2　　　　 (B) 3　　　　　 (C) 4　　　　 (D) 5　

9． “－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)．

A充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

10. 设P是双曲线
上一点，该双曲线的一条渐近线方程是
，

分别是双曲线的左、右焦点，若
，则
等于(　　)．

A．2 B．18 C．2或18 D．16

11、已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)．

A. B. C. D.

12. 过点A (4 , 3) 作直线L ,如果它与双曲线
只有一个公共点，

则直线L的条数为(　　)．

(A) 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置．

13．下面程序框图输出的结果是 。

14．要使直线
与焦点在
轴上的椭圆
总有公共点，实数
的取值范围是

15.抛物线
上的动点
到两定点（0，-1）、（1，-3）的距离之和的最小值为_______________

16、下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 （写出所有真命题的序号）。

① 设A，B为两个定点，若
，则动点P的轨迹为双曲线；

② 设A，B为两个定点，若动点P满足
，且
，则
的最大值为8；

③ 方程
的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；

④ 双曲线
与椭圆
有相同的焦点

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分12分）

已知椭圆的顶点与双曲线
的焦点重合，它们的离心率之和为
，若椭圆的焦点在
轴上，求椭圆的方程

18、（本小题满分12分）

从集合
中任取两个元素
、
（
），求方程
所对应的曲线表示焦点在
轴上的双曲线的概率？

19、（本小题满分12分）

双曲线
的左、右两焦点分别为F1、F2 ，点P在双曲线上，

且
,求
的面积

20、（本小题满分12分）

已知椭圆C的焦点F1（－
，0）和F2（
，0），长轴长6，设直线
交椭圆C于A B两点，且线段AB的中点坐标是P(
,
)，求直线
的方程。

21、（本小题满分12分）

已知命题
：
，命题
：双曲线
的离心率
，若
或
为真命题，
且
为假命题，求实数
的取值范围。

22、（本小题满分14分）

设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．

(1)设L的斜率为2，求|AB|的大小；

(2)求证：·是一个定值．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

A

B

C

C

D

D

B

C

B

C





二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

13、　24　　　　　14、　　[1，7 ) 15、 　　4 　 16、　　②③ 　 　

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 解：设双曲线
的焦距为2
，离心率为
，

则有：
，
＝4

∴双曲线的焦点为
且
…… 4分

∵椭圆的焦点在
轴上，设所求椭圆方程为
，其离心率为
，焦距为2
，

∴
，即
①

又
∴
＝4 ② …… 8分

又∵
③

由①、 ②、③可得

∴ 所求椭圆方程为
…… 12分

18.解：基本事件有：（-2，-1），（-2， 1），（-2，2），（-2，3），（-1，1），

（-1，2），（-1，3），（1，2），（1，3），（2， 3），

（-1，-2），（1，-2），（2，-2），（3，-2），（1，-1），

（2，-1），（3，-1），（2，1），（3，1），（3，2），共20个；

…… 5分

记“方程
所对应的曲线表示焦点在
轴上的双曲线”为事件A，

则
. …… 7分

满足条件的基本事件有：

（1，-2），（2，-2），（3，-2），（1，-1），（2，-1），（3，-1），共6个

…… 10分

即方程
所对应的曲线表示焦点在
轴上的双曲线的概率为

12分

19. 解：双曲线方程
化简为

即
，
，
……3分

设

由双曲线的定义知
又已知
……5分

…… 9分

…… 12分

20. 解：已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=
,a=3,从而b=1, ……3分

所以其标准方程是:
. …… 4分

设A(
),B(
),AB线段的中点为P(
,
)，

，
， …… 6分

又∵A,B在椭圆上∴

两式相减得
, …… 8分

…… 10分

所以k=1 所以直线
方程为y=x+2 …… 12分

21. 解：若命题
为真命题：

解得：-2＜m＜
… 3分

若命题
为真命题：1＜
＜4 解得： 0＜m＜15 …… 6分

因为
或
为真命题，
且
为假命题，所以
为一真一假 …… 7分

（1）若
则
得
…… 9分

（2）若
则
得
…… 11分

故m的取值范围为
…… 12分

22.解：依题意得F(1,0)，∴直线L的方程为y＝2(x－1)， …… 2分

设直线L与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由
消去y整理得x2－3x＋1＝0，∴x1＋x2＝3，x1x2＝1.

…… 4分

（解一）∴|AB|＝
＝
·＝
.

…… 6分

(2)证明：设直线L的方程为x＝ky＋1，

设直线L与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， …… 7分

由消去x整理得y2－4ky－4＝0.

∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4， …… 10分

∵·＝(x1，y1) ·(x2，y2)=x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2

＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3. …… 13分

∴·是一个定值为-3． … 14分