一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若
，则复数
在复平面内所对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．定积分
的值为，则（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知
是R上的单调增函数，则
的取值范围是 （ ）

A.
　 B.
C.
　　 C.

4.复数
（ ）

A．
B．
C．
C．

5．已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于( )

A.
B.
C.
D.

6．已知
，则
（ ）

A．
B ．
C ．180 D．90

7．由曲线
，直线
及y轴所围成的图形的面积为（ ）

A．
B．4 C．
D．6

8．设随机变
量X~N（0，1） ，已知
，则
（　　）

A．0.025　 B．0.050　 C．0.950　 D．0.975

9．若函数
的导数为
，则函数
的单调减区间为( ) A
B．
C．
D．

10.设
分别为先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数有
的条件下，方程
有实根的概率是（ ）

A .
B.
C.
D.

11．有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一列，在两端都有红球的排列中，其中红

球甲和黑球乙相邻的排法有（ ）

A．720 B．768 C．960 D．1440

12．定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立，则（ ）[来源:Zxxk.Com]

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）[来源:学|科|网]

13. 已知正弦函数
具有如下性质:

若
,则
(其中当
时等号成立). 根据上述结论可知,在
中,
的最大值为 .

14.用数学归纳法证明：
时,从“
到
”左边
需增加的代数式是______________________．

15.将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第
行
从左向右的第3个数为 .

16．已知
的展开式中的常数项为
，
是以
为周期的 偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数
的取值范围是__________________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，
没有平局．在一局比赛中，甲胜乙的概率为
，甲胜丙的概率为
，乙胜丙的概率为
.比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束．

（Ⅰ）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；

（Ⅱ） 记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为
，求
的概率分布列和数学期望
．

18．已知函数f（
x）=
，其中a>0，

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若a>2，且在区间
上，f（x）>0
恒成立，求实数a的取值范围．

19．某大学高等数学老师这学期分别用
两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数
学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：

（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？

（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；

（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的
列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”

甲班

乙班

合计



优秀









不优秀









合计









下面临界值表仅供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001




[来源:学科网ZXXK]

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 （参考公式：
其中
）

20. 已知函数
，

（Ⅰ）当
时，求
的极值；

（Ⅱ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅲ）对任意的
恒有
成 立，求实数m的取值范围．

请考生在第21、22、23题中任选二题做答，如果都做，则按所做的第一题、第二题记分.
做答时请写清题号.

21．（本题满分11分）选修4-1:如图,
是圆
的直径,
为圆上位于
异侧的两点,连结
并延长至点
,使
,连结
.

求证:
.

22．（本题满分11分）选修4-4：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点D的极坐标是
，曲线C的极坐标方程为
.

（Ⅰ）求点D的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若经过点D的直线
与曲线C交于A、B两点，求|DA|
|DB|的最小值.

23．（本题满分11分）选修4-5：已知函数
.

（Ⅰ）若不等
式
的解集为
，求实数a的值.

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在
使得
成立，求实数m的取值范围.

沈阳铁路实验中学2012-2013学年度下学期期末考试

高二数学试题参考答案(理)

18．解：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=
，f（2）=3；

=
,
=6.

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9

（Ⅱ）解：
=
.令f’(x)=0，解得x=0或x=
. ------ 5分

因为a>2，则
.当x变化时，
, f(x)的变化情况如下表：[来源:学科网]

x



0











+

0

-

0

+



f(x)



极大值



极小值






20．解：（Ⅰ）依题意，知
的定
义域为
.

当
时，
，
.

令
，解得

当
时，
；当
时，
.[来源:学.科.网Z.X.X.K]

在
上递减，在
上递增

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当
时，
在
单调递减.

当
时，
取最大值；当
时，
取
最小值.

所以

.

因为
恒成立，

所以
，整理得
.

又
所以
， 又因为
，得
，

所以
所以
. ---------------12分

21．解：证明：连结OD，
BD=DC，O为AB的中点，

因为点A，D，B，E都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，

所以
为同弧所对的圆周角，故

-----------------11分

⑵．当
时
，设
，由
（当且仅当
时等号成立）得，
的最小值为5。从而存在
使得
，即存在
使得
，则m的取值范围为
。-------------------------------------------------------------------------------11分