一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1．已知集合
，
，则
为（ ）

（A）
(B)
(C)
(D)

2、若复数
是纯虚数，则实数
等
于（ ）

（A）
（B）2 （C）
（D）－2

3．已知
是第三象限角，且
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4 ．下图给出了下一个算法流程图，该算法 流程图的功能是( )

A．求a,b,c三数的最大数

B．求a,b,c三数的最小数

C．将a,b,c按从小到大排列

D．将a,b,c按从大到小排列

5．已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ，

O 是 三 角 形 ABC 的 重 心 ， 动 点 P 满 足
，则点 P 一定为三角形的 （ ）

A．AB 边中线的中点 B．AB 边中线的三等分点（非重心）

C．重心 D．AB边的中点

6．已知等差数列
的前项和为
，且
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．4

7．已知a是函
数
的零点，
a，则
的值满足( )

　A．
＝0 B．
＞0 C．
＜0 D．
的符
号不确定

8．曲线

在点(1，2)处的切线方程为(　　)

A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5
D．y＝2x

9．已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( 　)

A. B. C. D.

10．设函数
，若数列
是单调递减数列，则实数a的取值范围为（ ）

A．（-
，2） B．（-
，
C．（-
，
） D．

11、椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，
，且
,垂足为
,若四边形
为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

12、半径为2的球面上有A,B,C,D四点，且AB,AC,AD两两垂直，则三个三角形面积之和
的最大值为( )

(A)4 (B)8 (C)16 (D) 32

二、填空题（共4小题，每小题5分共20分，将你所做答案写在答题卡相应的位置上）

13. 已知边长分别为a、b、c的三
角形ABC面积为S，内切圆O半径为r，连接OA、OB、OC，则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为
cr、
ar、
br，由S=
cr+
ar+
br得r=
，类比得若四面体的体积为V,四个面的面积分别为A、B、C、D，则内切球的半径R=_____________.

14. 若数列
满足
，则该数列的前2013项的乘积______.

15、已知函数
上的奇函数，且
的图象关于直线x=1对称，当
时，
．

16、设集合
，如果
满足：对任意
，都存在
,使得
，那么称
为集合
的一个聚点，则在下列集合中：（1）
；（2）
;(3)
;(4)
，以
为聚点的集合有 [来源:学科网ZXXK]

（写出所有你认为正确的结论的序号）．[来源:Zxxk.Com]

三、解答题（共6小题，共70分；请写出必要的过程和推演步骤）[来源:Zxxk.Com]

17．（本小题12分）如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，

乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B
1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

18.（本小题共12分）

天水市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考
试成绩进行分析，

规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，

得到如下的
列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率
为
.

优秀

非优秀

合计



甲班

10







乙班



30





 合计





110



 （1）请完成上面的列联表；

（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进

行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽

到9号或10号的概率。

参考公式与临界值表：
。

0.100

0.050

0.025

0.010[来源:学科网ZXXK]

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





19．（本小题12分）如图所示，三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点．

(1)求证：B1C∥平面AC1M；

(2)求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B.

20.
(本小题满分12分)

曲线C上任一点到定点(0，
)的距离等于它到定直线
的距离.

(1)求曲线C的方程；

(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线

分别交曲线C于A、B两点，且
⊥
，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点
坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.

21．（本小题12分）已知f(x)=
在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=
的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

（请考
生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号）

（22）（本小题满分1
0分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知
切⊙
于点E，割线PBA交⊙
于A、B两点，∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D．

求证：

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
．

[来源:学科网ZXXK]

（23）（本小题满分10分）选修4
－4：坐标系与参数方程

已知圆
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）将圆
的参数方程化为普通方程，将圆
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）圆
、
是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．

已知：

，求证：
.


一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题
所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

二、填空题（共4小题，每小题5分共20分，将你所做答案写在答题卡相应的位置上）

13.
14. 2. 15、1 16、（2）（3）

18.（本小题共12分）

（1） ------
-4分

[
来源:Zxxk.Com]

优秀

非优秀

合计



甲班

10

50

60



乙班

20

30

50



合计

30

80

110





（2）根据列联表中的数据，得到K2= ≈7
.487＜10.828．因此按99.9%的

可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” -------
8分（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：
（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=
，即抽到9号或10号的概率为
． -------12分

19．

【证明】　(1)由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.

连结A1C，设A1C
∩AC1＝O，连结MO，

由题意可知，A1O＝CO，A1M＝B1M，

∴MO∥B1C，

又MO?平面AC1M，

B1C?平面AC1M，∴B1C∥平面AC1M.

(2)∵A1C1＝B1C1，M为A1B1的中点，

∴C1M⊥A1B1，

又平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，

平面A1B1C1∩平面AA1B1B＝A1B1，

∴C1M⊥平面AA1B1B，

20．
解：设
：y-2=k(x-1)(k≠0)
:y=2=

由
得2x2-kx+k-2=0

同理得B点坐标为

∴

消去k得：y=4x2+4x+
………9分

M轨迹是抛物线，故存在一定点
和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线[来源:学&科&网Z&X&X&K]

的距离。将抛物线方程化为
，此抛物线
可看成是由抛物线
左移
个单位，上移
个单位得到的，而抛物线
的焦点为(0，
)，准线为y=-
.∴所求的定点为
，定直线方程为y=
.

21．解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①

设
(x)=x2－ax－2，

方法一：

(1)=1－a－2≤0，

①

－1≤a≤1，

(－1)=1+a－2≤0.

∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

方法二：

≥0，
<0，

①
或

(－1)=1+a－2≤0
(1)=1－a－2≤0

0≤a≤1 或 －1≤a<0

－1≤a≤1.

∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由

∵△=a2+8>0

∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，

x1+x2=a，

∴ x1x2=－2，

从而|x1－x2|=
=
.

∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=
≤3.

要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②

设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，

方法一：

g(－1)=m2－m－2≥0，

②

g(1)=m2+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m≠0时，

m>0， m<0，

②
或

g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0

m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]
恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号）

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

（22）解：（Ⅰ）
切⊙
于点
，

平分
，
，

………………5分

（Ⅱ）

∽
，
，

同理
∽
，

………………10分

（23）解：（Ⅰ）由
得x2＋y2＝1， 又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，

∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ.
∴
x2＋y2－x＋y＝0，即
………………5分[来源:学科网]

（Ⅱ）圆心距
，得两圆相交，由得，A(1,0)，B
， ∴
………………10分

24．证明：要使原不等式成立，只要：
………………………3分[来源:学科网ZXXK]

只要：
………………………6分

只要：
由已知此不等式成立。………………………10分