吉安一中2012—2013学年度下学期第二次段考

高二数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数
满足
，则复数
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知曲线
的极坐标方程为
，将其化为直角坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．参数方程
（
为参数）化为普通方程
是（ ）

A．
B．

C．

D．

4．已知随机变量
，且
，则
（
）

A． 0.1 B． 0.2 C． 0.3 D． 0.4

5．已知集合
，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数是（ ）

A． 33 B． 34 C． 35 D． 36

6．设函数
是偶函数，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

7．某种种子每粒发芽的概率是
，现播种该种子1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望与方差分别是（ ）

A． 100 90 B． 100 180 C． 200 180 D． 200 360

8．下列命题：

①设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
，则曲线
在点
处切线的斜率为
；

②关于
的不等式
对任意的
恒成立，则x的取值范围是
，

③变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），
表示变量Y与X之间的线性相关系数，
表示变量V与U之间的线性相关系数，则
；

④下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
（吨）与相应的生产能耗
（吨标准煤）的几组对照数据























根据上表提供的数据，得出ｙ关于ｘ的线性回归方程为
，则
=－0.35；

以上命题正确的个数是（ ）

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

9．已知函数
（
，实数
，
为常数）．且
（
），若函数
在
上的最小值为0，则
= （ ）

A．
　 B．
C．
D．

10．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数
的图像大致为（ ）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案写在答题卷上）

11．若
，则满足
的实数x的取值范围为________．

12．直线
被圆
所截得的弦长为________．

13．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，5都不与3相邻的六位偶数的个数是________．

14．已知
，则二项式
的展开式中二项式系数最大项为________．

15．有下列命题：

①若函数
；

②若函数
在
存在导函数，则
；

③若函数
，则
；

④若三次函数
，则“
”是“
有极值”的充要条件．

其中真命题的序号是________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）

16．（满分12分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，

某月产量如表(单位：辆)：

轿车A

轿车B

轿车C



舒适型

100

150

z



标准型

300

450

600



按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（1）求z的值
；

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，

从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．

17．（满分12分）如果
展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为
，

（1）求n的值；

（2）求展开式中常数项的值；

（3）求展开式中各项的系数和?

18．（满分12分）已知函数
满足
．

（1）求常数
的值；

（2）解关于
的不等式
．

19．（满分12分）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进． 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正
方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．
质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）． 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．

（1）求点P恰好返回到A点的概率；

（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示

点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．

20．（满分13分）已知函数
为奇函数，且
在
处取极大值2．

（1）求函数
的解析式；

（2）记
，求函数
的单调区间；

（3）在（2）的条件下，当
时，若函数
的图像都在直线
的下方，

求
的取值范围．

21．（满分14分）已知函数
=
，
．

（1）求函数
在区间
上的值域；

（2）是否存在实数
，对任意给定的
，在区间
上都存在
两个不同的
，使得
成立．若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

（3）给出如下定义：对于函数
图象上任意不同的两点
，如果对于函数
图象上的点
（其中
总能使得
成立，则称函数具备性质“
”，试判断函数
是不是具备性质“
”，并说明理由．

吉安一中2012-2013学年度下学期第二次段考高二数学参考答案（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1～5 BDDBA 6～10 CDCAA

二、填空题
（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11． x ≤－2或x ≥2 12．
13． 108

14．
15． ①③

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）

16
．（满分12分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，

某月产量如表(单位：辆)：

轿车A

轿车B

轿车C



舒适型

100

150

z



标准型


300

450

600



按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（1）求z的值
；

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，

从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．

解：(1) 设该厂本月生产轿车为
辆，由题意得，
，
……… 3分

所以 z = 2000－100－300－150－450－600 = 4…………………………………… 6分

(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以
，解得m=2，也即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车………… 8分

所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为
………… 12分

17．（满分12分）如果
展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为
．

（1）求n的值；（2）求展开式中常数项的值；（3）求展开式中各项的系数和．

解：（1）第三项系数为
，第五项系数为
…………………………………………… 2分

由第五项与第三项系数之比为
，得
，解得
………………… 4分

（2）令第
项为常数项，则
…… 5分

令
，解得
………………………………………………………… 6分

故所求的常数项为
……………………………………………… 8分

（3）令
得各项数和为
………………………………… 12分

18．（满分12分）已知函数
满足
．

（1）求常数
的值；（2）解不等式
．

解：（1）因为
，所以
……………………………………………………… 3分

由
，即
，
……………………………… 6分

（2）由（1）得
………………………………… 7分

由
得，

当
时，

，解得
……………………… 9分

当
时，
，解得
……………………………… 11分

所以不等式
的解集为：
………… 12分

19．（满分12分）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进． 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字． 质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）． 在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．

（1）求点P恰好返回到A点的概率；

（2）在点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示

点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．

解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能，故其概率P1＝＝ … 1分

易知只投掷一次不可能返回到A点 …………………………………………………… 2分

①若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字

应依次为：(1，3)、(3，1)、(2，2)三种结果，其概率为P2＝()2×3＝ …………… 3分

②若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字

应依次为：(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)三种结果，其概率为P3＝()3×3＝ …4分

③
若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1，1，1，1)，

其概率为P4＝
………………………………………………………………… 5分

所以，质点P恰好返回到A点的概率为：
………………… 6分

（2）由(1)知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，

且ξ的可能取值为2，3，4 ……
………………………………………………………… 7分

则P(ξ＝2)＝
，P(ξ＝3)＝
，P(ξ＝4)＝
(算对每个概率得1分) … 10分

所以，Eξ＝2×
＋3×
＋4×

＝
……………………………………………… 12分

20．（满分13分）已知函数
为奇函数，且
在
处取极大值2．

（1）求函数
的解析式；

（2）记
，求函数
的单调区间；

（3）在（2）的条件下，当
时，若函数
的图像的直线
的下方，

求
的取值范围．

解：（1）由f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）为奇函数，∴f（－x）= －f（x），解得，b=0 … 1分

∴f'（
x）=3ax2+c，且f（x）在x=1取得极大值2．

∴
解得
………………………………… 3分

∴f（x）= －x3＋3x ………………………………………………………………………… 4分

（2）由（1）得：g（x）=﹣x2+3+（k+1）lnx

∴
…………………………………… 5分

因为函数定义域为（0，+∞），

所以

①当k=﹣1时，g'（x）=﹣2x＜0，函数在（0，+∞）上单调递减 …………………… 6分

②当k＜﹣1时，k+1＜0，∵x＞0，

∴
．可得函数在（0，+∞）上单调递减 ………… 7分

③当k＞﹣1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得
，∵x＞0，

∴﹣2x2+（k+1）＞0，得
，又x＞0，得
；

令g'（x）＜0，得
， 同上得2x2＞（k+1），解得