2012～2013学年苏州市高二期末调研测试

数学Ⅰ（理科）参考答案 2013．6

一、填空题

1．

，
2．x = (1 3．(1 4．必要不充分 5．

6．（(∞，3） 7．
8．2 9．310 10．②③

11．
12．
或
13．
14．62

二、解答题

15．证明：（1）取EC中点G，连BG，GF．

∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG =
DE．

又∵AB∥DE，且AB =
DE．

∴四边形ABGF为平行四边形．……… 3分

∴AF∥BG．又BG
平面BCE，AF
平面BCE．

（条件每少一个扣1分，最多扣2分）

∴AF∥平面BCE． …………5分

（2）∵AB ( 平面ACD，AF
平面ACD，

∴AB ( AF．∵AB∥DE，∴AF ( DE． ………… 6分

又∵△ACD为正三角形，∴AF ( CD． ………… 7分

∵BG∥AF，∴BG ( DE，BG ( CD． ………… 8分

∵CD ∩ DE = D，∴BG (平面CDE． 　 ………… 9分

（直接用AF∥BG，AF(平面CDE，而得到BG (平面CDE．扣1分）

∵BG
平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE； ……………11分

（3）四面体BCEF的体积

． ……………14分

16．解：（1）双曲线
的左、右焦点为
，
．………1分

设点
，则
， 即
． ……………3分

化简得点M的轨迹方程为
． ……………7分

（2）点M的轨迹方程即为
，

它表示以
为圆心，12为半径的圆． ……………9分

因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m的距离为4，

所以圆心到直线y = x + m的距离为8，即
． ……………12分

解得
． ……………14分

17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系
．

则

，
． ………… 2分

设平面
的法向量为
，

则
．

即
．令
，则
．

∴平面
的一个法向量
．…… 4分

又平面
的一个法向量为
．

故
，

即二面角
的余弦值为
． ……… 6分

（2）当λ =
时，E（0，1，2），F（1，4，0），
．

所以
． ……………9分

因为
，所以
为锐角，

从而直线EF与平面
所成角的正弦值的大小为
． ……………10分

（3）假设
，则
．

∵
，

∴
，
． ……………12分

∴
．化简得
．

该方程无解，所以假设不成立，即直线
不可能与直线
不可能垂直．……14分

18．解：（1）设A表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，

B表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，

则P（A）=
， …………2分

P（B）=
， …………4分

则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为

P（AB）= P（A）P（B）=
． …………6分

（2）由题意
的取值为0，1，2，3，且

；
；
；
．

所求随机变量
的分布列为

0

1

2

3



P











…………10分

数学期望
． …………12分

（3）设C表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”，

则所求概率为

．

所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为
． ………… 16分

19．解：（1）
， ………… 1分

由
，得a = 5． ………… 2分

∴
．则
．

则（2，3）在直线
上．∴b = (15． ………… 4分

（2）① 若
，
，

∴
的单调减区间为（1，(∞）． ………… 6分

② 若
，则

令
，得
．∴
，或x ? 1． ………… 9分

∴
的单调减区间为
，（1，(∞）． ………… 10分

（3）
，0 ? a ? 1，

列表：

（(∞，1）

1

（1，
）



（
，(∞）





+

0

(

0

(





↗

极大值

↘

极小值

↗



 ………… 12分

∴f(x) 的极小值为

． ………… 14分

当
时，函数f(x) 的极小值f(
)取得最大值为
． ………… 16分

20．解：（1）由B（
，
），C（0，1），得直线BC方程为
．………… 2分

令y = 0，得x = (2，∴a = 2． ………… 3分

将B（
，
）代入椭圆方程，得
．∴b2 = 2．

椭圆方程为
． ………… 5分

（2）① 当PQ与x轴垂直时，PQ =
； ………… 6分

② 当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ：y = kx ( 1（k≥0），

代入椭圆方程x2 ( 2y2 ( 4 = 0，得x2 ( 2(kx ( 1)2 ( 4 = 0．

即 (2k2 ( 1) x2 ( 4kx ( 2 = 0． ………… 8分

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
．

则 | x1 ( x2 | =
．PQ =
． ………… 10分

=
． ………… 12分

∵
，在k =
时取等号， ………… 14分

∴PQ2 =
(（8，9]．则PQ(
． ………… 15分

由①，②得PQ的取值范围是
． ………… 16分

数学Ⅱ（理科附加题）参考答案

A1 证明：如图，连结
，

∵AB = AC，AD是BC边的中线，

∴
是此等腰三角形的一条对称轴．

∴
． ………… 2分

∵BF∥AC，(F = (ACP．

∴(F = (ABP． ………… 5分

又
，

∴
∽
． ………… 8分

所以
，即
．

∵BP = CP，∴CP2 = PE·PF． ……… 10分

A2 证明：（1）连结
．

∵
为切线，∴(FAB = (ACB．………… 2分

∵
，
，

∴
．

∴
． ………… 5分

（2）∵
，
，

∴
四点共圆．则
．

又
，∴
．

则DE∥AF． ……………8分

∴
，即
． ……… 10分

B1 解：由题设得
． ………… 2分

设直线
上任意一点
在矩阵
对应的变换作用下变为
，

则
． ………… 5分

即
，∴
………… 8分

∵点
在直线
上，∴
，即
．

∴曲线
的方程为
． ………… 10分

B2 解：（1）由题意得
． ………… 2分

即
，∴

则
． ………… 5分

（2）由（1）得矩阵M
，

矩阵M的特征多项式为
，

矩阵M的另一个特征值是1．

代入二元一次方程组
，解得
，

于是M的属于特征值1的一个特征向量为
． ………… 8分

∴α =
．

∴M 10α = M 10
．………… 10分

C1解：圆
的直角坐标方程为
，即
． ………… 2分

圆心
，直线
的直角坐标方程为
． ………… 5分

所以过点
与直线
垂直的直线的方程为
． ………… 8分

化为极坐标方程得
，即
．………… 10分

C2 解：（1）直线
的普通方程
，

椭圆
的普通方程为
； …………………… 2分

（2）设椭圆
上一点
的坐标为
，

∵m ? 2，∴点
到直线
的距离

．

∴
． …………………… 5分

∵椭圆
上有且只有1个点到直线
的距离为2，

∴关于
的方程
在
上有且只有一个解．

∴
或
． …………………… 8分

若
，满足
，此时
，点
的坐标是
；

若
，不合题意．

综上，实数
的值为
，该点的坐标为
．……………10分

D1证明：（1）当
时，因为
，
，

即n = 2时不等式成立； ……… 2分

（2）假设n = k（
）时不等式成立，即有
，

则当
时，
……… 5分

． ……… 8分

即当
时，不等式也成立．

综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分

D2（1）证明：由柯西不等式得

………… 2分