荆门市2012—2013学年度期末质量检测考试

高二数学（理）参考答案及评分标准

审题：市教研室

一、选择题 1～10 ADBAB BDCAC

二、填空题 11. 平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形

12. 07； 13. 240； 14.
(对一个给3分)； 15．
.

三、解答题

17. （I）（i）设 “在次游戏中摸出个白球”为事件
，则

…………………………………………………………3分

（ii）设“在1次游戏中获奖”为事件，则
，

又
，

且
互斥，所以
. …………………6分

（II）由题意可知的所有可能取值为
.

，
，
.

所以的分布列是

X

0

1

2



P









所以的数学期望
. ………………………12分

18.（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，

在△
中，M,N分别为两腰
的中点， …………………………2分

∴MN∥AC，
面MDE，又
面MDE，…………………………5分

AC∥平面MDE ………………………………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为，以D为空间坐标系的原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，则

，
……8分

设平面PAD的单位法向量为
，则可设

设面PBC的法向量
，应有

，

即：
，

解得：
，所以
，…………………………………10分

∴
，所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°. …12分

解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，

垂足为H，连结HC ，………………………………7分

∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D，

∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC，

∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，……………………9分

在
△PDG中，
，可以计算
，

在
△CDH中，
，

所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°.…………………………………………12分

19.(Ⅰ) 容易求得：
，故可以猜测
……………………2分

下面用数学归纳法证明：显然当
时，结论成立. …………………3分

假设当
，结论成立，即

当
时，
……………………5分

即当
时，结论也成立,综合可得
成立. …………………………6分

(Ⅱ)
…………………………………8分

…
…

只需证明
即证
……………………………10分

即证
即证
（显然成立）即证. ………………12分

20. （Ⅰ）由
的准线为
，
，故记
………3分

又
，所以
，故椭圆为
．………6分

21. （Ⅰ）
，由已知，得
∴a＝1． …………………2分

此时
，
，……………………………………………3分

∴当
时，
；当
时，
． …………………………4分

∴当x＝0时，f(x)取得极小值，该极小值即为最小值，∴f(x)min＝f(0)＝0．……6分

（Ⅱ）记
，
,……………………………7分

设
…………………………………8分