高二下学期第二次月考数学试题

一．选择题（每小题5分，共60分。请将正确答案涂在答题卡上）

1.
是虚数单位，复数
的虚部是

（A）0 （B）
（C）
（D）2

2. 若两个非零向量
，
满足
，则向量
与
的夹角为

(A)．
(B)．
(C)．
(D)．

3．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，

则该几何体的俯视图为

（A） （ B） (C) ( D)

4.
中，
是
成立的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

5. 函数
的图像为C,如下结论中正确的是

（A）图像C关于直线
对称 （B）图像C关于点

对称

（C）函数
在区间
内是增函数

（D）由
的图像向右平移
个单位长度可以得到图像

6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：

① 若
，
，则
； ② 若
//
，
，则m //
；

③ 若
，
，
，则
； ④ 若
，
，
，则
．

其中正确命题的序号是

(A) ①③ 　(B) ①② 　 (C)③④ 　　 (D) ②③

7. 已知函数
，若
，则实数
的取值范围为

（A）
（B）

（C）
（D）

8 ．已知正项等比数列{a
}满足：
，若存在两项
使得
，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．不存在

9. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的
值等于

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

10. 4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是

（A）48　 （B）36　 （C）24　 （D）18

11. 若实数
，
满足不等式组
且
的最大值为9，则实数

（A）
（B）
（C）1 （D）2

12．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线交双曲线右支于点
，切点为
，若
，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

二.填空（每小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题纸上）

13. 曲线
上的点到直线
的最短距离是

14.
的展开式中的常数项为_________.

15．已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点
，点
是两曲线的一

个交点，且
⊥
轴，则双曲线的离心率为 ．

16. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以
和
表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以
表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.

①
； ②
； ③事件
与事件
相互独立；

④
是两两互斥的事件； ⑤
的值不能确定，因为它与
中哪一个发生有关

三. 解答题（共6个小题，共70分.请将正确答案填写在答题纸上.）

17. (本小题满分12分)

设数列
前
项和为
，数列
的前
项和为
，满足
，
.

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式.

18. (本小题满分12分)

某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．

（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；

（Ⅱ）设摸球次数为
，求
的分布列和数学期望．

19. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，

AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=
AD=1，CD=
．

（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ；

（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 ．

20．(本小题满分12分)

已知向量
，
，
（
为常数，
是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与
轴垂直,
．

（Ⅰ）求
的值及
的单调区间；

（Ⅱ）已知函数
(
为正实数),若对于任意
，总存在
， 使得
，求实数
的取值范围．

21. (本小题满分12分)

已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交
轴正半轴于点
，交抛物线于
两点，其中点
在第一象限.

（Ⅰ）求证：以线段
为直径的圆与
轴相切；

（Ⅱ）若
,
,
，求
的取值范围.

22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

求证：（1）
；

（2）
；

（3）
,
,
,
四点共圆

高二第二次月考数学答案

1-5BBDCC 6-10 DCACB 11-12 CC13.
14. -5 15.
16. ②④

17.【答案】【解析】（1）当
时，
。

因为
，所以
，求得
。

（2）当
时，
，

所以
① 所以
②

②
①得
， 所以
，即

，

求得
，
，则
。所以
是以3为首项，2为公比的等比数列，

所以
， 所以
，
。

18.解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C． ……1分

则P(A)=
，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分

P(B)

（列式正确，计算错误，扣1分） ………5分

三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．

P(C)

．…7分

（Ⅱ）设摸球的次数为
，则
． ……8分

，
，

，
．（各1分）

故取球次数
的分布列为

1

2

3

4















…12分

．(约为2.7) …

19.（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ……………………1分

∵BC∥AD且BC=
AD，即BC
AQ．∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M是棱PC的中点，∴ MN // PA ………………2分

∵ MN
平面MQB，PA
平面MQB，…………………3分

∴ PA // 平面MBQ． ……………………4分

（Ⅱ）∵AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ……………………6分

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………7分

∴BQ⊥平面PAD． ……………………8分

∵BQ
平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD． …………………9分

另证：AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ，

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． …………………6分

∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ……………………7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． …………………8分

∵ AD
平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．……………10分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；

，
，
，
．………11分

设
，

则
，
，∵
，

∴
， ∴
……………………12分

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
． ……………………13分

∵二面角M-BQ-C为30°，
，∴
．……14分

20．（本小题满分13分）解：（I）由已知可得：
=

，

由已知，
，∴
…………………………………………………………2分

所以
…………3分

由
，由

的增区间为
，减区间为
………………………………………5分

（II）
对于任意
，总存在
， 使得
，

……………………………………………………………………6分

由（I）知，当
时，
取得最大值
.………………………………8分

对于
，其对称轴为

当
时，
，

，从而
………………10分

当
时，
，

，从而
……12分

综上可知：
……………

21. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知
,设
，则
，

圆心坐标为
，圆心到
轴的距离为
， …………………2分

圆的半径为
， …………………4分

所以，以线段
为直径的圆与
轴相切. …………………5分

（Ⅱ）解法一：设
，由
,
,得

，
， …………………6分

所以
，
，…………8分

由
，得
.又
，
，

所以
.