石家庄市2012～2013学年度第二学期期末考试试卷

高二数学（理科）参考答案

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-5.ABDAC 6-10.CABCC 11-12. DA

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．
14．
15． 72 16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（I）当
时，
，
，………………2分

，

所以，当
时，曲线
在点
，
处的切线的斜率为
………………4分

（II）当
时，
，

………………6分

所以当变化时，
、
的变化情况如下表：


，




，




，





+

0

—

0

+





↗

极大值

↘

极小值

↗



 ……………8分

所以，
的极大值为
，极小值为
………………10分

18．解：(Ⅰ)因为按性别比例分层抽样，

所以抽取男生
位，抽取女生
位

所以男、女生分别抽取抽取3位和5位才符合抽样要求………………5分

（Ⅱ）因为
，……………6分

所以物理成绩与数学成绩之间有较强的线性相关关系，……………8分

根据所给的数据，可以计算得出
，……………10分

，……………11分

所以与的回归直线方程为
.………………12分

19．解：（I）设事件
表示“这3人中恰有2人是低碳族” ……………1分

………………4分

答：甲、乙、丙这3人中恰有人是低碳族的概率是
……………5分

（II）设小区有人，两周后非低碳族的概率
，

故低碳族的概率是
……………8分

随机地从小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是
，

故这25个人中低碳族人数服从二项分布，故
～
，
，……………10分

所以，
………………12分

20．解：（I）当
时，
，∴

当
时，
，∴

当
时，
，∴

当
时，
，∴

由此猜想
(
N*)．………………5分

（II）证明：（i）当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝＝1，左边＝右边，结论成立．……6分

（ii）假设
且
N*)时，结论成立，即
，……………8分

那么
时，
，

∴
，∴
，

∴
时，结论成立，……………11分

由（i）（ii）可知，猜想
成立．………………12分

21．（Ⅰ）解：因为

，……2分

又
,……………4分

所以，我们有
的把握认为患心肺疾病是与性别有关系的． ………………6分

（Ⅱ）解：
的所有可能取值：0，1，2，3 ……………7分

；
；

；
； ……………9分

分布列如下：

0

1

2

3















……………10分

则

所以，
的数学期望为
………………12分

22．解：（I）
，……………1分

由于
，
，所以

当
时，
，∴
在
，
上是减函数……………3分

当
时，

当变化时，
、
的变化情况如下表：


，




，





—

0

+





↘

极小值

↗



则
在
，
上是减函数，在
，
上是增函数；……………5分

综上所述，当
时，
的单调递减区间是
，

当
时，
的单调递减区间是
，
，单调递增区间是
，
…………6分

（II）当
时，
，

由（I）知
在
，
上是减函数，在
，
上是增函数，

所以，
的最小值是
，则
的最小值为
………8分

又因为
，在
，
上
，所以
在
，
上单调递增，

所以
在
，
上的最大值是
，……………10分

故由题设知

解得
，故的取值范围是
，
………………12分

附加题：（以下是选修系列四三选一的内容,各校可根据本校的情况，酌情选择此题）

【几何证明选讲】

解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即
，又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB ， 因此∠ADE=∠ACB

所以C，B，D，E四点共圆．………………5分

（Ⅱ）若m=6，n=8，方程
的两根为
，故AD=4，AB=12.

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于
，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=7，DF=4

故C，B，D，E四点所在圆的半径为
………………10分

【坐标系与参数方程】

解：（I）由
的参数方程可知：
，
，

直线
，

………………5分

（II）曲线
的直角坐标方程为
，将直线
的参数方程为
代入得：

，由参数的几何意义得：
………10分

【不等式选讲】

解：（I）由
得
，因为解集为
，

所以，
，解得
………………5分

（II）由函数
的定义域为R知，

对任意实数有
恒成立

由于
，所以

即的取值范围是
，
………………10分