2013年春学期期中考试

高二数学（文科）试卷

答题时间：120分钟 卷面总分：160分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1. 设全集
，集合
，
，则
．

2. 若复数
，则ｚ的实部是_____________.

3. 命题“
”的否定是 ．

4．已知条件
：ｘ>2，条件
：
，若p是q的充分不必要条件，则
的取值范围是_________.

5. 已知函数
，则
的值为_________。

6复数
对应的点在第四象限内，则
的取值范围是_____

7、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第
个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_________________

8.定义：若函数f(x)的图像经过变换T后所得图像对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换。下面给出了四个函数与对应的变换：

f(x)=(x-1)2, T1将函数f(x)的图像关于y轴对称；

f(x)=2x-1，T2将函数f(x)的图像关于x轴对称；

f(x)=
，T3将函数f(x)的图像关于原点对称；

f(x)= x3+x T4将函数f(x)的图像关于直线x=1对称。

其中T是f(x)的同值变换的有__________．(写出所有符合题意的序号)

9.已知偶函数
在区间
上单调递增，则满足
＜
的x 的集合是 ．

10.设
是实数,a≠-1若函数
是定义在
上的奇函数，则函数
的递增区间为 ．

11.定义在实数集
上的函数
满足
，若
，则
的值为 ．

12. 设函数
，观察：

……

根据以上事实，由归纳推理可得：当

若三角形内切圆的半径为
，三边长为
，则三角形的面积
，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为
，四个面的面积分别是
，
，
，
，则四面体的体积
．

1４．关于函数
有如下结论：

①
是偶函数；②函数
的值域为
；

③
在Ｒ上单调递增；④函数
的图象关于直线
对称；

其中正确结论的序号有__________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本题满分14分）

已知集合
，
.

（1）若
=3，求
；

（2）若
，求实数
的取值范围.

16.（本题满分14分）命题
函数f(x)=x2+(m-2)x+1在(-∞，2)上为减函数,命题
方程
无实数根.若“
或
”为真命题，求实数
的取值范围.

17. （本题满分15分）求
可用如下方法：

将以上各式相加，得
仿此方法，

求

18 .（本题满分15分）已知函数
，设函数

（Ⅰ）求证：
是奇函数；

（Ⅱ）① 求证：
；

② 求
的值；

19. （本小题满分16分）已知函数
的定义域为（0，
），
且当x=1时取得最小值，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线
和
轴的垂线，垂足分别为M、N。

（1）求
的值；

（2）问：
是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；

（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值。

20. （本小题满分16分）已知函数
，在区间 [2，3]上有最大值4，最小值1，设
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若不等式
在
∈(0,+∞)时恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）方程
有三个不同的实数解，求实数
的取值范围．

2013年春学期期中考试

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一．填空题（每小题5分，满分共70分）

1. {5,6} ； 2. 2 ；

3 .
； 4.
；

5. 2 ； 6.
；

7.
； 8. （1）（3）（4） ；

9. （1,2） ； 10. （-1,1）． （或[-1，1]）

11. 3 ； 12.
；

13.
； 14. ② ③． ；

15. 解：（1）

当m=3时
————————7分

（2）
————————14分

16. 解：若P为真，则
——————————4分

若q为真，则
————8分

因“p或q”为真
—————————————14分

17.解:

——————————————————————————————9分

将以上各式相加得
—————————15分

18. 证明：（I）
定义域为R

为奇函数，——————————5分

（Ⅱ）①

为奇函数
——————————————10分

②

————————————————————15分

19. 解：（1）

，当且仅当
即
时，
取得最小值，
————————————————————5分

（2）设
则：

·
（定值）——10分

（当
时取等号）
四边形OMPN面积最小值为

——————————————————————————————————16分

20．解:（Ⅰ）(1)

当
时，
上为增函数

故
——————5分

（Ⅱ）
化为：
∵ x>0

（当
时取等号）
————10分

（Ⅲ）方程
可化为

，

令
， 则方程化为
（
）

∵方程
有三个不同的实数解，

∴由
的图像知，

有两个根
、
，

且
或
，

记

则
或
∴
——————16分