成都石室中学高2014级2012～2013学年度下期“零诊”模拟考试

数学试题(理科)

第I卷(选择题，共50分）

选择题:（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.若集合
，
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

2.已知向量

，

，且
//
，则
等于

(A)
(B)2 (C)
(D)

不等式
的解集为

（A）
（B）
（C）
（D）

4.下列命题正确的是

（A）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行

（B）若平面
，则平面

（C）平行四边形的平面投影可能是正方形

（D）若一条直线上的两个点到平面
的距离相等，则这条直线平行于平面

阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

（B）

（C）

（D）

6.将函数
的图像上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

（A）
（B）
（C）
（D）

7.设x,y满足

（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值

（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值

8.双曲线
的两个焦点为
，若
为其上一点，且
，则双曲线离心率的取值范围是

（A）
　　 （B）
（C）
　　 　（D）

9.对于函数
，部分
与
的对应关系如下表：

1

2

3

4

5

6

7

8

9





7

4

5

8

1

3

5

2

6



 数列
满足
，且对任意
，点
都在函数
的图象上，则
的值为

（A）9394 （B）9380 （C）9396 （D）9400

10.函数
是定义在
上的偶函数，且满足
.当
时，
.若在区间
上方程
恰有四个不相等的实数根，则实数
的取值范围是

（A）
(B)
(C)
(D)

第II卷(非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分)

抛物线
的准线方程是 .

已知函数
（
>0,
）的图象如右图所示，则

= .

如右图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为____.

14.数列
满足
，若
对任意
恒成立，则正整数
的最小值为 .

15.方程
的曲线即为函数
的图像，对于函数
，有如下结论：①
在R上单调递减；②函数
不存在零点；③函数
的值域是R；④若函数
和
的图像关于原点对称，则函数
的图像就是方程
确定的曲线.

其中所有正确的命题序号是 .

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分12分）

已知
中，内角
的对边分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求
的面积．

17.(本小题满分12分）

梯形
中，
，
，
，如图①；现将其沿
折成如图②的几何体，使得
.

（Ⅰ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

18.(本小题满分12分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数；乙组有一个数据模糊，用
表示.

（Ⅰ）若
，求乙组同学植树的棵数的平均数；

（Ⅱ）若
，分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率；

（Ⅲ）甲组中有两名同学约定一同去植树，且在车站彼此等候10分钟，超过10分钟，则各自到植树地点再会面.一个同学在7点到8点之间到达车站，另一个同学在7点半与8点之间到达车站，求他们在车站会面的概率.

19.（本题满分12分）

已知椭圆

的左、右焦点分别为
, 离心率为
.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线
相切．

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 若斜率为
的直线
与
轴、椭圆
顺次相交于点
（
点在椭圆右顶点的右侧），且
.求证：直线
过定点（2，0）.

20.（本题满分13分）

设数列
的前
项和为
，且
．数列
满足
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明：数列
为等差数列，并求
的通项公式；

（Ⅲ）设数列
的前
项和为
，是否存在常数
，使得不等式

恒成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

（本题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小值；

（Ⅱ）设
=
，讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）如果在公共定义域
上的函数
,
满足
，那么就称
为
的“可控函数”.已知函数
，
，若在区间
上，函数
是
的“可控函数”，求实数
的取范围.

2014级零诊模拟试题(理科)数学答案

1-10 C A B C B C B D A A

11-15


25 ①②③

16.解：（Ⅰ）∵
为
的内角，且，
，

∴

………………………………………4分

∴


………………………………6分

（Ⅱ）由（I）知，

∴
………………………………………7分

∵
，由正弦定理
得

……………………………………11分

∴

……………………………………12分

17.解：（Ⅰ）由题意，

，

.在
中，∵
，∴
，

∴
两两垂直，分别以
所在直线为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
（如图）.

设平面
的法向量为
，
，
，

，取

设直线
与平面
成的角为
，

则

直线
与平面
成的角为

（Ⅱ）设平面
的法向量为
，

令

由（Ⅰ）知平面
的法向量为令
.

由图知二面角
为锐角，

∴二面角
大小的余弦值为
.

（1）
……4分

（2）
……8分

（3）
……12分

19.解：（I）由题意知
， 所以
．即
.

又因为
，所以
，
．

故椭圆
的方程为
. --------------------------5分

（II）由题意,设直线
的方程为
，

由
得

则有
，
. ---------------------7分

因为
, 且
，

所以
--------------------8分

，即
.

化简得：

将
，

代入上式得
（满足△
）.

直线
的方程为
，即直线过定点（2，0）.----------------------12分

20.解：（Ⅰ）当
时
；

当
时
，

因为
适合通项公式
．

所以

． …………3分

（Ⅱ）因为
，

所以
，

即
．

所以
是首项为
=1，公差为2的等差数列．

所以
，

所以
． ……………………6分

（Ⅲ）存在常数
使得不等式

恒成立．

因为
①

所以

②