成都石室中学高2014级2012～2013学年度下期“零诊”模拟考试

数学试题(文科)

第I卷(选择题，共50分）

选择题:（本大题共10小题，每小题5分，共50分)在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1.若集合
，
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

2.已知向量

，

，且
//
，则
等于

(A)
(B)2 (C)
(D)

不等式
的解集为

（A）
（B）
（C）
（D）

4.下列命题正确的是

（A）若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行

（B）若平面
，则平面

（C）平行四边形的平面投影可能是正方形

（D）若一条直线上的两个点到平面
的距离相等，则这条直线平行于平面

阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

（B）

（C）

（D）

6.将函数
的图像上所有的点向右平行移动
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是

（A）
（B）
（C）
（D）

7.设x,y满足

（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值

（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值

8.双曲线
的两个焦点为
，若
为其上一点，且
，则双曲线离心率的取值范围是

（A）
　　 （B）
（C）
　　 　（D）

9.对于函数
，部分
与
的对应关系如下表：

1

2

3

4

5

6

7

8

9





7

4

5

8

1

3

5

2

6



 数列
满足
，且对任意
，点
都在函数
的图象上，则
的值为

（A）9394 （B）9380 （C）9396 （D）9400

10.函数
是定义在
上的偶函数，且满足
.当
时，
.若在区间
上方程
恰有四个不相等的实数根，则实数
的取值范围是

（A）
(B)
(C)
(D)

第II卷(非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分)

抛物线
的准线方程是 .

已知函数
（
>0,
）的图象如右图所示，则
=___.

直线
与圆
相交于A、B两点，则
________．

14.已知数列
的前
项和为
，且
，则
.

15.定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，
仍是等比数列，则称
为“等比函数”. 现有定义在
上的如下函数：①
；②
；③
；④
.

则其中是“等比函数”的
的序号为 　 ．

三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分12分）

已知
中，内角
的对边分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求
的面积．

17.(本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面是边长为1的正方形，侧棱
底面
，且
，
是侧棱
上的动点.

（Ⅰ）求四棱锥
的体积；

（Ⅱ）如果
是
的中点，求证
平面
；

（Ⅲ）是否不论点
在侧棱
的任何位置，都有
？证明你的结论.

18.(本小题满分12分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树的棵数；乙组有一个数据模糊，用
表示.

（Ⅰ）若
，求乙组同学植树的棵数的平均数；

（Ⅱ）若
，分别从甲、乙两组中各随机录取一名学生，求这两名学生植树总棵数为19的概率；

（Ⅲ）甲组中有两名同学约定一同去植树，且在车站彼此等候10分钟，超过10分钟，则各自到植树地点再会面.一个同学在7点到8点之间到达车站，另一个同学在7点半与8点之间到达车站，求他们在车站会面的概率.

19.（本题满分12分）

已知椭圆

的长轴长为
，点
（2，1）在椭圆上，平行于
（
为坐标原点）的直线
交椭圆于
两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线
的斜率分别为
，
，那么
+
是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.

20.（本题满分13分）

设数列
的前
项和为
，且
．数列
满足
，
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明：数列
为等差数列，并求
的通项公式；

（Ⅲ）设数列
的前
项和为
，是否存在常数
，使得不等式

恒成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．

（本题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求实数
的值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）当
时，记函数
的最小值为
，求证：
．

2014级零诊模拟试题(文科)数学答案

1-10 C A B C B C B B A A

11-15



③④

16.解：（Ⅰ）∵
为
的内角，且，
，

∴

………………………………………4分

∴

………………………………………6分

（Ⅱ）由（I）知，

∴
………………………………………7分

∵
，由正弦定理
得

……………………………………11分

∴

……………………………………12分

17.解：

解：（1）∵
平面
，

∴

即四棱锥
的体积为
.………4分

（2）连结
交
于
，连结
.

∵四边形
是正方形，∴
是
的中点.

又∵
是
的中点，∴
.

∵
平面
，
平面

∴
平面
.………8分

（3）不论点
在何位置，都有
.

证明如下：∵四边形
是正方形，∴
.

∵
底面
，且
平面
，∴
.

又∵
，∴
平面
.

∵不论点
在何位置，都有
平面
.

∴不论点
在何位置，都有
.………12分

（1）
……4分

（2）
……8分

（3）
……12分

19.解：（I）由已知可知
…………………………………1分

设椭圆方程为
，将点
代入解得
…………………………3分

∴椭圆方程为
………………………4分

（II）
+

设
，由①得
.…………………6分

∵

∴

=

……………………………………………12分

20.解：（Ⅰ）当
时
；

当
时
，

因为
适合通项公式
．

所以

． …………3分

（Ⅱ）因为
，

所以
，

即
．

所以
是首项为
=1，公差为2的等差数列．

所以
，

所以
． ……………………6分

（Ⅲ）存在常数
使得不等式

恒成立．

因为
①

所以

②

由①-②得
，

化简得
．

因为
=

，…………8分

（1）当
为奇数时，
，

所以
， 即
．

所以当
=1时，
的最大值为
，所以只需
；…………10分

（2）当
为偶数时，
，

所以
，

所以当
=2时，
的最小值为
，所以只需
；…………12分

由（1）（2）可知存在
，使得不等式

…13分

21.解：（I）
的定义域为
.

.

根据题意，有
，所以
，

解得
或
. …3分

（II）
.

（1）当
时，因为
，

由
得
，解得
；

由
得
，解得
.

所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.

（2）当
时，因为
，

由
得
，解得
；

由
得
，解得
.

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增. …9分

（III）由（Ⅱ）知，当
时，函数
的最小值为
，

且
.

，

令
，得
.

当