高二下学期第三次阶段考试数学（文）试题

本试卷共4页，20小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和班级座位号、试室号、试室座位号填写在答题卡上。

2．必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液、改写纸。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．
为虚数单位，则复数
的虚部为（　　）

A．
B．
C．
D．

3．若
，则“
”是“
”的（　　）条件

A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要

4．下列说法错误的是 ( )

A．如果命题“
”与命题“
或
”都是真命题，那么命题
一定是真命题　

B.命题
：
,则

C．命题“若
都是偶数，则
是偶数”的否命题是“若
都不是偶数，则
不是偶数”

D．特称命题 “
，使
”是假命题

5. 过点
且垂直于直线
的直线方程为（ ）

A,
B,
C.,
D.

6.在
中，内角A,B,C对应的边分别是a,b,c ，已知
，
的面积
，则
的周长为( )

A．6 B．5 C．4 D．

7．阅读右图1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（　　　）．

A．
B．
　 　C．
　D．

8．已知实数
构成一个等比数列，则圆锥曲线
的离心率为（ ）

9在等差数列
中，
，
是数列
的前
项和，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是(　　)

A．2　　。w-w*k&s%B．2 C．4 D．2

二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.）

11.已知
，
，若

均为正实数），类比以上等式，可推测a,t的值，则
=_________.

12． 已知直线
的参数方程为
(
为参数)，圆
的参数方程为
(
为参数),则圆心
到直线
的距离为 .

13．设
、
满足条件
，则
的最小值是 .

14.已知圆
的极坐标方程为
，则圆
上点到直线

的最短距离为 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15.（本小题满分12分）

　已知函数

（1）求
的值；

（2）设
，求函数f（x）的值域。

分组

频数

频率



（3.9，4.2]

3

0.06



（4.2，4.5]

6

0.12



（4.5，4.8]

25

x



（4.8，5.1]

y

z



（5.1，5.4]

2

0.04



合计

n

1.00



16．（本小题满分12分）

为了了解2013年某校高三学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为
，
，… ，
经过数据处理，得到如右频率分布表：

（1）求频率分布表中未知量
的值；

（2）从样本中视力在
和
的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

17．(本题满分14分)

如图，在正方体
中，
是
的中点.

（1）求证：
平面
； （2）求证：平面
平面
.

18.（本小题满分14分）

在等差数列
中，
，
，记数列
的前
项和为
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）是否存在正整数
、
，且
，使得
、
、
成等比数列？若存在，求出所有符合条件的
、
的值；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在
轴上，一个顶点为
，且其右焦点到直线
的距离为3.

（1）求椭圆方程；

（2）设直线过定点
，与椭圆交于两个不同的点
，且满足
．

求直线的方程.

20．（本题满分14分）

已知函数
，且其导函数
的图像过原点.

(1)当
时，求函数
的图像在
处的切线方程;

(2)若存在
，使得
，求
的最大值；

(3)当
时，求函数
的零点个数。

揭阳第三中学2012-2013学年度高二下学期第三次阶段考试

数 学 (文科） 参考答案与评分标准

（2）设样本视力在（3.9， 4.2]的3人为
，在（5.1，5.4]的2人为
．7分

由题意从5人中任取两人的基本事件如下：

，共有10个基本事件………9分

设事件Ａ表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A等价于“抽取两人来自同一组”包含的基本事件有：

，共有4个基本事件 ……11分

∴
， 故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为
． ……12分

17．（本小题满分14分）

假设存在正整数
、
，且
，使得
、
、
成等比数列，

则
． ………………………8分

即
． ……………………………9分

所以
．

因为
，所以
．即
．

因为
，所以
．

因为
，所以
． …………………………12分

此时
． ………………………………13分

所以存在满足题意的正整数
、
，且只有一组解，即
，
………14分

19．（本小题满分14分）

解 (1)设椭圆方程为
， 则
. ………………1分

令右焦点
， 则由条件得
，得
.…………3分

那么
,∴椭圆方程为
.………5分

(2)若直线斜率不存在时，直线即为
轴，此时
为椭圆的上下顶点，

，不满足条件；………6分

故可设直线:
,与椭圆
联立，

消去
得：
.………7分

由
，得
. ………………8分

由韦达定理得

而
………………10分

设
的中点
，则

由
，则有
.

………………11分

可求得
. ………………12分

检验
………………13分

所以直线方程为
或
.………14分

20．（本小题满分14分）

解:
,
………1分

由
得
,
. ………2分

(1) 当
时,
,
，
,

所以函数
的图像在
处的切线方程为
,即
………4分

(2) 存在
,使得
,

，
，

当且仅当
时，
所以
的最大值为
. ………9分



























f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增



 (3) 当
时，
的变化情况如下表：

………11分

的极大值
，

的极小值

又

，
.

所以函数
在区间
内各有一个零点，

故函数
共有三个零点。………14分

注：①证明
的极小值
也可这样进行:

设
，

则

当
时,
,当
时,
,

函数
在区间
上是增函数,在区间
上是减函数,

故函数
在区间
上的最大值为
,

从而
的极小值
.

②证明函数
共有三个零点。也可这样进行:
的极大值
，

的极小值
,

当
无限减小时，
无限趋于
当
无限增大时，
无限趋于

故函数
在区间
内各有一个零点，故函数
共有三个零点。