射阳中学2012-2013学年高二上学期期末考试数学（理）试题

一.填空题（本大题14小题，共70分，每题5分，请你务必把答案写在答题纸上）

1.某影院有50排座位，每排有60个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下座位号为18的所有听众50人进行座谈，这是运用了____▲_______ 抽样.

2. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：

则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为____▲____________

3．“
”是“
”的 ▲ 条件.

（填充分不必要、必要不充分，充分必要，既不充分

也不必要）

4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内一次任取2个球，则恰有一个红球的概率是 ▲ …..

5．样本
的平均数为
,样本
的平均数为
,那么样本
的平均数为____▲_____.

6.右图是求函数值的程序框图，

当输入值为2时，则输出值为____▲______.

7.已知函数
的最大值 ▲ ．

8.已知等腰Rt△ABC中, ∠C=90°. 在直角边BC上任取一点M , 使∠CAM<30°的概率

为 ▲ .

9.设函数
则
▲ ．

10.设
1，
2(R，常数a>0，定义运算“”，x1x2＝(x1＋x2) 2－(x1－x2)2，若x≥0，则动点P(x，)的轨迹方程是 ▲ .

11.双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则t= ▲ .

12. 已知椭圆
的右焦点为
，
点在椭圆上，以
点为圆心的圆与
轴相切，且同时与
轴相切于椭圆的右焦点
，则椭圆
的离心率为 ▲ .

13.已知函数
在点
处的切线为y=2x - 1，则函数
在点
处的切线方程为 ▲ .

14．已知
，且
，则
的最大值是 ▲ ．

二.解答题（本大题共6小题，共90分，解答时请写出必要的步骤与文字说明）

15. （本小题共14分）设
：方程
表示双曲线；

：函数
在R上有极大值点和极小值点各一个．

求使“
”为真命题的实数
的取值范围．

16．（本小题满分14分）已知圆C在x轴上的截距为 - 1和3，在y轴上的一个截距为1.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若过点（2，-1）的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角.

17.（本小题满分14分）已知椭圆
的焦点为
、
，点
在椭圆上．

⑴求椭圆
的方程；

⑵若抛物线
（
）与椭圆
相交于点
、
，当
（
是坐标原点）的面积取得最大值时，求
的值．

18.（本小题满分16分）.如图, 在直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中, CA=CB=1 , ∠BCA=90°, 棱AA1=2 , M、N分别是A1B1、A1A的中点:

(1)求
的长;

(2)求cos<
,
>的值;

(3)求证: A1B⊥C1M .

19.（本小题满分16分）已知数列
中
，
（
）．

⑴求证：数列
为等差数列；

⑵设
（
），数列
的前
项和为
，求满足
的最小正整数
．

20．（本小题满分16分）已知函数
处取得极值2。

（1）求函数
的表达式；

（2）当
满足什么条件时，函数
在区间
上单调递增？

（3）若
为
图象上任意一点，直线与
的图象切于点P，求直线的斜率
的取值范围。

高二数学（理）期末考试试卷参考答案

一.填空题（本大题14小题，共70分，每题5分，请把答案写在答题纸上）

1.某影院有50排座位，每排有60个座位，一次报告会坐满了听众，会后留下座位号为18的所有听众50人进行座谈，这是运用了_____系统______ 抽样.

2. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：

则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为______0.3__________

3．“
”是“
”的 充分且必要条件 条件.

（填充分不必要、必要不充分，充分必要，既不充分

也不必要）

4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是

5．样本
的平均数为
,样本
的平均数为
,那么样本
的平均数__
____

6.右图是求函数值的程序框图，

当输入值为2时，则输出值为__-3_____.

7.已知函数
的最大值
．

8.已知等腰Rt△ABC中, ∠C=90°. 在直角边BC上任取一点M , 使∠CAM<30°的概率为
.

9.设函数
则

．

10.设x1，x2(R，常数a>0，定义运算“”x1x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥0，则动点P(x，)的轨迹方程是
.

11.双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则t=

12. 已知椭圆
的右焦点为
，
点在椭圆上，以
点为圆心的圆与
轴相切，且同时与
轴相切于椭圆的右焦点
，则椭圆
的离心率为

13.已知函数
在点
处的切线为由y=2x - 1，则函数
在点
处的切线方程为 6x-y-5=0； 。

14．已知
，且
，则
的最大值是
．

二.解答题（本大题共6小题，共90分，解答时请写出必要的文字说明）

15. （本小题共14分）设
：方程
表示双曲线；

：函数
在R上有极大值点和极小值点各一个．

求使“
”为真命题的实数
的取值范围．

15. 解：命题P：∵方程
表示双曲线，∴
，

即
或
。………………………………………………………5分

命题q：∵函数
在R上有极大值点和极小值点各一个，

∴
有两个不同的解
，即△＞0。

由△＞0，得m＜－1或m＞4。 ………………………………………………10分

又由题意知“p且q”为真命题，则p，q都是真命题,

∴
．

的取值范围为
． ……………………………………………14分

16．（本小题满分14分）已知圆C在x轴上的截距为 - 1和3，在y轴上的一个截距为1。

（1）求圆C的标准方程；

（2）若过点（2，-1）的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角。

17.（本小题满分14分）已知椭圆
的焦点为
、
，点
在椭圆上．

⑴求椭圆
的方程；

⑵若抛物线
（
）与椭圆
相交于点
、
，当
（
是坐标原点）的面积取得最大值时，求
的值．

18.解：⑴依题意，设椭圆
的方程为
………………1分，

……2分，
，所以
……4分，

，所以
……4分，椭圆
的方程为
……6分

⑵根据椭圆和抛物线的对称性，设
、
（
）……8分，

的面积
……10分，

在椭圆上，
，所以
，等号当且仅当
时成立…………………………………………12分，

解
（
）得
，

即
在抛物线
上，所以
，

解得
……………………………………………14分．

18.（本小题满分16分）.如图, 在直棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中, CA=CB=1 , ∠BCA=90°, 棱AA1=2 , M、N分别是A1B1、A1A的中点:

(1)求
的长;

(2)求cos<
,
>的值;

(3)求证: A1B⊥C1M .

解（1）
………………………………………5分

（2）
………………………………………11分

（3）证明C1M⊥AA1B 1B………………………16分

19.（本小题满分16分）

已知数列
中
，
（
）．

⑴求证：数列
为等差数列；

⑵设
（
），数列
的前
项和为
，求满足
的最小正整数
．

19.证明与求解：⑴由
与
得
………………………1分，

……………………………………………………4分，

所以
，
为常数，
为等差数列……6分

⑵由⑴得
………………………………………8分

…………………10分

所以

…………………………………………………………………………13分，

由
即
得
………………………15分，

所以满足
的最小正整数
…………………………………16分．

20．（本小题满分16分）已知函数
处取得极值2。

（1）求函数
的表达式；

（2）当
满足什么条件时，函数
在区间
上单调递增？

（3）若
为
图象上任意一点，直线与
的图象切于点P，求直线的斜率
的取值范围。

令
得：

则
的增减性如下表：

（-∞，-1）

（-1，1）

（1，+∞）





负

正

负













 可知，
的单调增区间是[-1，1]，

所以

所以当
时，函数
在区间
上单调递增。 ·········11分

（3）由条件知，过
的图象上一点P的切线的斜率
为：

令
，则
，

此时，
的图象性质知：

当
时，
；

当
时，

所以，直线的斜率
的取值范围是
····················16分