成都七中高2014级零诊模拟数学试卷（理科）

命题人：刘在廷审题人：张世永

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）

1.已知命题
命题
，则（ ）

A 命题
是真命题 B命题
是真命题

C命题
是假命题 D 命题
是真命题

2.“
”是“直线
与直线
平行”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.△ABC中，若
，则△ABC为（ ）

A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 无法确定

4.如图，一个“半圆锥”的正视图是边长为2的正三角形，侧视图是直角三

角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为（）

A
B
C
D

5.若双曲线
经过抛物线
的焦点，在双曲线的离

心率为（）

A
B
C
D

6.执行右边的程序框图，则输出n的值为( )

A 6 B．5 C．4 D．3

7. 函数
为增函数的区间是( )

8．已知函数

数列{an}满足an=f?(n)（n∈N+），且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（ ）

A(1，3) B
C
D(2，3)

9. 直线
：
分别与函数
和
的交点为
，
则
（ ）

A 2010 B 2012 C 2014 D 不确定

10.设等差数列
的前
项和为
，已知
，
，则下列结论正确的是（）

A
B

C
D

二、填空题（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.）

11.为了解高2014级学生的身体发育情况，抽查了该年级100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右图：根据上图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是___________人

12.在平面直角坐标系
中，设
是由不等式组
表示的区域，
是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向
中随机投一点，则所投点落在
中的概率是________.

13.正方体
的棱长为4，点
在棱
上，且
，则三棱锥
的体积是____________________.

14. 若

，则
的最小值为____________

15.设
为定义在区间
上的函数.若对
上任意两点
和实数
，总有
，则称
为
上的严格下凸函数。若
为
上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意
有
成立（
是函数
导函数的导函数），则以下结论正确的有________________________.

①
，
是严格下凸函数.

②设
且
，则有

③若
是区间
上的严格下凸函数，对任意
，则都有

④
是严格下凸函数

成都七中高2014级零诊模拟数学试卷（理科答题卷）

命题人：刘在廷审题人：张世永

二.填空题（每小题5分，共25分）

11、____ 12、______13、

14、 15、

三、解答题（本大题共6小题,满分75分.其中16－19每题12分，20题13分，21题14分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

16.已知函数
．

（1）求函数
的最小值和最小正周期；

（2）已知
内角
的对边分别为
，且
，若向量
与
共线，求
的值．

17.成都七中学生会经过综合考评，新招了14名男生和6名女生到学生会工作，茎叶图表示这20名同学的测试成绩（单位：分），规定：成绩在180分以上者到“
部门”工作；成绩在180分以下者到“
部门”工作．

（1）求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值；

（2）如果用分层抽样的方法从“
部门”和“
部门”共选取5人，再从这5人中选2人，

求至少有一人是“
部门”的概率.

18.如图，四棱锥
中，
是矩形，平面

平面
，

为
上的点，且

平面
．

（1）求证：AE
BE；

（2）求三棱锥D—AEC的体积；

（3）求二面角A—CD—E的余弦值．

19. 设数列
的前
项和为
，且
；数列
为等差数列，且
，
.

（1）求数列
与
的通项公式；

（2）若
(
=1,2,3…)，
为数列
的前
项和.求
.

20.已知椭圆
的中心在坐标原点，两个焦点分别为
，

，点
在椭圆
上，过点
的直线
与抛物线
交于不同两点
，抛物线
在点
处的切线分别为
，且
与
交于点
.

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 是否存在满足
的点
? 若存在，指出这样的点
有几个,并求出点
的坐标；若不存在，说明理由.

21.已知函数

（1）若
，求
的极小值;

（2）若
有两个不同的极值点，其极小值为
，试比较
与
的大小关系，并说明理由;

（3）若
，设
.是否存在正整数
，使得当
时，恒有
.若存在，求出一个满足条件的
，若不存在，请说明理由.

成

成都七中高2014级零诊模拟数学试卷（理科）（参考答案）

一.选择题

1—5 DABCA 6—10 CCDBA

二. 填空题

11. 40 12.
13.
14.
15. ①④

三.解答题

16.解：(Ⅰ)

……………………………………………………3分

∴
的最小值为
，最小正周期为
. ………………………………5分

（2）∵
， 即

∵
，
，∴
，∴
． ……7分

∵
共线，∴
．

由正弦定理
， 得
①…………………………………9分

∵
，由余弦定理，得
， ②……………………10分

解方程组①②，得
． …………………………………………12分

17. 解：(Ⅰ) 男生共14人，中间两个成绩是175和176，它们的平均数为175.5.

即男生成绩的中位数是175.5 …………………………………………………2分

女生的平均成绩是
………4分

（2）用分层抽样的方法从“
部门”和“
部门”抽取5人，每个人被抽中的

概率是
………6分

根据茎叶图，“
部门”有
人，“
部门”有
人 ……8分

记选中的“
部门”的人员为
，选中的“
部门”人员为
，从这5人中选2人的所有可能的结果为：共10种。 ………10分

其中至少有一人是“
部门”的结果有7种，

因此，至少有一人是“
部门”的概率是
。 ……12分

18. 解：（1）
ABCD是矩形，
BC
AB，
平面EAB
平面ABCD，

平面EAB
平面ABCD=AB，BC
平面ABCD，
BC
平面EAB，

EA
平面EAB，
BC
EA ，
BF
平面ACE，EA
平面ACE，
BF
EA，
BC
BF=B，BC
平面EBC，BF
平面EBC，
EA
平面EBC ，
BE
平面EBC，
EA
BE。 ……………………………………………………………………4分

（2）
EA
BE，
AB=

，设O为AB的中点，连结EO，∵AE=EB=2，
EO
AB，
平面EAB
平面ABCD，
EO
平面ABCD，即EO为三棱锥E—ADC的高，且EO=

。………………………………8分

（3）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为
，如图建立空间直角坐标系，则
，
，由（2）知
是平面ACD的一个法向量，设平面ECD的法向量为
，则
，即
，令
，则
，所以
，设二面角A—CD—E的平面角的大小为
，由图得
，

所以二面角A—CD—E的余弦值为
。………………………………………………12分

19. 解：（1）数列
为等差数列，公差
,可得
……2分

由
，令
，则
，又

所以
当
时，由
，可得

即
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，

于是
…………………………………………………………………………6分

（2） 从而

，

. ……………………………………………………………12分

20. 解：（1）设椭圆
的方程为

,

依题意:
解得:

∴ 椭圆
的方程为
. ……………5分

(2)显然直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，

由
消去
，得
.

设
,则
.

由
,即
得

.

∴抛物线
在点
处的切线
的方程为
，即
.…7分

∵
， ∴
.

同理,得抛物线
在点
处的切线
的方程为
.

由
解得

∴
. …………… ……………………………………………………8 分

∵
,

∴点
在椭圆
上. ∴
.

化简得
.………………………………………………………10分

由
,
，

∴
或

∴满足条件的点
有两个，坐标为. ∴
或
………………………………13分

21. 解：（1）∵

∴





















递减

极小值

递增





…………………………………………………………4分

（2）

∵
有两个不同的极值点，

∴
在
有两个不同的实根。设

则
即：
设
在
的两根
且





























递增

极大值

递减

极小值

递增



∴

又
在
的两根为
∴

∴

∴
， ∵

∴
令
，

∴
时，
，
在
递减， ∴
时，

∴

………………………………………………………………9分

（3）要使
时，恒有
即：

∵
.

；

同理：

∴

由（1）的结论，令
得

即：

∴
即：

……

累加：

即：

又

∴

要使
只需要

即：

综上所述，存在正整数
，使得当
时，恒有

………………………………………………………………………………14分