稳派教育名校联盟2012年5月高二年级摸底考试

数 学（文科）

本试卷共4页，共22题，满分150分。考试时间120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.

1. 1.设
是虚数单位，集合
，
，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

【考点分析】本题考查复数、集合的概念和运算.

【参考答案】C

【解题思路】∵
，
，∴
，
，选C.

2．如图是2012赛季NBA纽约尼克斯队两名球星安东尼和林书豪每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 　 .

A．28 B．38 C．48 D．58

【考点分析】本题主要考查茎叶图的基础知识.

【参考答案】D．

【解题思路】根据茎叶图的基本概念计算即可.

3．下列有关选项正确的是

A．若
为真命题，则
为真命题.

B．“
”是“
”的充分不必要条件.

C．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”.

D．已知命题
：
，使得
，则
：
，使得
.

【考点分析】本题主要考查复合命题、充要条件和特称命题的否定等基础知识.

【参考答案】B

【解题思路】根据相关基本概念判断即可.

4. 如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），

则此几何体的表面积是（　　）

A.
cm
B.
cm

C. 96 cm
D. 112 cm

【考点分析】本题主要考查几何体的三视图、表面积等基础知识以及空间想象能力．

【参考答案】A

【解题思路】观察可知原几何体为一个正方体和一个正四棱锥的组合体。根据图上的长度可以求出正四棱锥侧面的斜高为
，所以侧面积为
。所以几何体的表面积为
。

5.执行右边的程序框图,输出的结果是
,则①处应填入的条件是( )

A.

B.

C.

D.

【考点分析】本题考查算法和程序框图的知识．考查分析问题、

解决问题的能力．

【参考答案】A

【解题思路】按照程序框图依次执行即可判断.

6.以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是(　　)

A．x2＋y2－10x＋9＝0 B．x2＋y2－10x＋16＝0

C．x2＋y2＋10x＋16＝0 D．x2＋y2＋10x＋9＝0

【考点分析】本题主要考查了双曲线与圆的几何性质和运用．考察了运算能力和推理能力．

【参考答案】A

【解题思路】右焦点(5,0)，渐近线y＝±，∴ r＝4.

7．已知函数
，若实数
是方程
的值（ ）

A．不小于0 B．恒为正数 C．恒为负数 D．不大于0

【考点分析】本题考查函数的单调性和函数的零点以及计算能力和逻辑推理能力.

【参考答案】B．

【解题思路】因为函数
是减函数，又因为
，所以：

8．已知正项组成的等差数列
的前
项的和为
,那么
最大值是

A．
B．
C．
D．不存在

【考点分析】本题主要考查等差数列的定义和性质，基本不等式的应用，

【参考答案】C

【解题思路】由题意可得?
=100，解得
=10=
，

由基本不等式可得 10≥
，∴
?≤25，当且仅当
=5时，等号成立，

故
最大值是25，故选C．

9．设

，当0
时，
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A．（0,1） B．
C．
D．

【考点分析】本题考查函数性质和不等式的综合运用，考查考生灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识.

【参考答案】D

【解题思路】根据函数的性质，不等式
，即
，即
在
上恒成立。当
时，即
恒成立，只要
即可，解得
；当
时，不等式恒成立；当
时，只要
，只要
，只要
，这个不等式恒成立，此时
。综上可知：
.

10. 已知
，直线
和曲线
有两个不同的交点，它们围成的平面区域为
，向区域
上随机投一点A，点A落在区域
内的概率为
，若
，则实数
的取值范围为( )

A．
B．
　C．
D．

【考点分析】本题考查几何概型的运算和线性规划的知识以及数形结合的解题思想。

【参考答案】D

【解题思路】由题意得
所表示的平面区域为X轴上方的一个半圆，其面积为
，由直线
和曲线
有两个不同的交点，可得直线必过一个特殊点（-2，0），当过点（0,2）时它们围成的平面区域
的面积为
，由点A落在区域
内的概率
最小值为
得
=0，由点A落在区域
内的概率
最大值为1时，可得
=1，所以实数
的取值范围为
，故选D.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

11．已知向量
,
,
,则
= ．

【考点分析】本题主要考查平面向量和三角函数的基本公式和变形.

【参考答案】

【解题思路】由
=
得
=

12．设
是公比为
的等比数列，
，令
，若数列
有连续四项在集合
中，则
= .

【考点分析】本题主要考查等比数列的定义和性质

【参考答案】-9

【解题思路】
有连续四项在集合
，四项
成等比数列，公比为
，
= -9

13.某中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：

高一年级

高二年级

高三年级



女生

523

x

y



男生

487

490

z



已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.17. 现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，则应在高三年级抽取 名学生.

【考点分析】本题考查抽样方法中的分层抽样.

【参考答案】99

【解题思路】由题设可知＝0.17，所以x＝510.

高三年级人数为y＋z＝3 000－(523＋487＋490＋510)＝990，

现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，

应在高三年级抽取的人数为：×990＝99.

14．若正实数x、y满足条件
，则
的最小值为_____________．

【考点分析】本题考查指对数式与基本不等式的知识，考查了对这两部分知识的灵活运用能力，以及对知识的转化能力．

【参考答案】4

【解题思路】由题意知
，则

=
（x=y=5时取等号）．

15．如图，已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是_____________．

【考点分析】本题考查平面向量的运算和基本定理的应用，以及数形结合解决问题的能力.

【参考答案】　0

【解题思路】　＝－，＝－. ∴＝－－＝－－.

∴＝－， ∴＝－. 又＝r＋s，∴r＝，s＝－， ∴r＋s＝0.

16．根据下面一组等式：

可得
．

【考点分析】本题是课本中的习题．考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识．

【参考答案】

【解题思路】
猜想
．

17.对于三次函数
，定义：设
是函数
的导数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件.

(1).函数
的对称中心为________.

(2).若函数
________.

【考点分析】本题主要考查实际问题中导数的意义、阅读理解能力和类比推理能力. 属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.

【参考答案】（1，1）; 2012

，

函数
对称中心为（1，1）;令
，
，则
的对称中心为（,1），由（1）知，计算可得

；
∴原式=2012

三、解答题：本大题共5小题，共65分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分12分）

在
中，
，
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的值．

【考点分析】本小题主要考查正、余弦定理，三角形中的三角恒等变换等基础知识，本小题主要考查推理论证、运算求解等能力．

解：（1）在
中，由
，得
…………………………2分

又由正弦定理
……………………………………… ………………3分

得：
…………………………………………………………………6分

（2）由余弦定理：
得：

即
，解得
或
（舍去），所以
………………8分

所以，

……………10分

，即
………… ……… ……12分

19.(本小题满分12分)

为了增强学生爱护环境的意识,某中学随机抽取了50名学生

举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛的成绩(得分均为整数,

满分100分)整理得到的频率分布直方图如右.

(I)若图中第一组(成绩为
)对应矩形高是第六组(成绩

为
)对应矩形高的一半,试求第一组、第六组分别

有学生多少人?

(II)在(Ⅰ)的条件下,若从第一组中选出一名学生,从第六组中

选出2名学生,共3名学生召开座谈会,求第一组中学生A1

和第六组中学生B1同时被选中的概率？

【解题思路】(Ⅰ) 由频率分布直方图可知第一组和第六组的频率为

1-(0.006+0.024+0.028+0.030)=0.12………………………………………………………2分

又由题知,第一组与第六组频率之比为1:2,所以两组频率分别为0.04、0.08…………4分

所以这两组别有学生人数为50×0.04=2,50×0.08=4……………………………………6分

(Ⅱ)记
中的学生为
,
中的学生为
,由题意可得,基本事件为:

;

共12个,…………………………………………………………………………………………10分

事件
{
同时被选中}发生有

三种,所以由古典概型知,

…………………………………………………………………………………12分

20（本小题满分13分）

如图，四棱锥
的底面
是矩形，
，
，且侧面PAB是正三角形，平面
平面ABCD，E是棱PA的中点．

（Ⅰ）求证：
平面EBD；

（Ⅱ）求三棱锥
的体积．

【考点分析】本小题主要考查空间线面位置关系的基本定理、多面体体积计算，本小题主要考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．

【解析】：

（I）证明：在矩形ABCD中，连结AC，设AC、BD交点为O，则O是AC中点．

又E是PA中点，所以EO是△PAC的中位线，所以PC//EO．．．．．．．．3分

又EO(平面EBD，PC ( 平面EBD．所以PC//平面EBD．．．．．．．．．．．．6分

(II) 取AB中点H，则由PA＝PB，得PH⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，

所以PH⊥平面ABCD． ………..8分

取AH中点F，由E是PA中点，得EF//PH，所以EF⊥平面ABCD．

∵
，

由题意可求得：
=
，PH=
，EF=
， ………..11分

则
． ………..13分

21．（本小题满分14分）

已知椭圆
的离心率为
，其左、右焦点分别为
，点
是椭圆上一点，且
，
(
为坐标原点).

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)过点
且斜率为
的动直线
交椭圆于
两点，在
轴上是否存在定点
，使以
为直径的圆恒过这个点?若存在，求出
的坐标，若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）因为
，所以
. ………………2分

∵
，∴
⊥
，∴
；

又∵
，∴
，

∴
.b=1. 因此所求椭圆的方程为：
………6分

(Ⅱ)动直线
的方程为：

由
得

设