江苏省无锡一中2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题

一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）

1．已知
（为虚数单位），则复数的共轭复数是 ▲ ．

2．从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有 ▲ 种

（用数字作答）．

3．若
，则
▲ ．

4．由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有 ▲ 个（用数字作答）．

5．设为奇数，则
除以9的余数为 ▲ ．

6．已知复数乘法
（
，为虚数单位）的几何意义是将复数
在复平面内对应的点
绕原点逆时针方向旋转
角，则将点
绕原点逆时针方向旋转
得到的点的坐标为 ▲ ．

7．
的展开式中有理项共有 ▲ 项．

8．已知一个关于正整数的命题
满足“若
时命题
成立，则
时命题
也成立”．有下列判断：

（1）当
时命题
不成立，则
时命题
不成立；

（2）当
时命题
不成立，则
时命题
不成立；

（3）当
时命题
成立，则
时命题
成立；

（4）当
时命题
成立，则
时命题
成立．

其中正确判断的序号是 ▲ ．（写出所有正确判断的序号）

9．已知复数满足
，则
（为虚数单位）的最大值是 ▲ ．

10．已知扇形
，点为弧
上异于
的任

意一点，当为弧
的中点时，

的值最大．现有半径为的半圆
，在圆弧

上依次取点
（异于
），则
的最大值为 ▲ ．

11．从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有 ▲ 种（用数字作答）．

12．若
，则
的值为 ▲ .

13．数列
满足
，其中
，设
，则
等于 ▲ ．

14．我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式
可得，左边
的系数为
，而右边

，

的系数为

，

由
恒成立，可得
．

利用上述方法，化简
▲ ．

二、解答题（共6大题，共90分）

15．（本题满分15分）

设实部为正数的复数，满足
，且复数
在复平面上对应的点在第

一、三象限的角平分线上．

（1）求复数；

（2）若
为纯虚数， 求实数的值．

16．（本题满分15分）

4个男同学，3个女同学站成一排．

（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？

（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

（用数字作答）

17．（本题满分15分）

已知
（是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含项的系数为112．

（1）求
的值；

（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；

（3）求
的展开式中含
项的系数．

（用数字作答）

18．（本题满分15分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个

黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（1）求取出的4个球均为黑球的概率；

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（3）设
为取出的4个球中红球的个数，求
的分布列．

19．（本题满分15分）

已知
，考查

①
；

②
；

③
．

归纳出对
都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

20．（本题满分15分）

试用两种方法证明：

（1）
；

（2）
．

一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）

1.
； 2.
； 3.
； 4.
；

5.
； 6.
； 7.
； 8. （2）（3）；

9.
； 10.
； 11.
； 12.；

13.
； 14.

二、解答题（共6大题，共90分）

15．（本题满分15分）

解：（1）设
，
，……………………………………1分

由题意：
.①………………………………………………3分

，

得
②……………………………………………………5分

①②联立，解得
…………………………………………7分

得
.………………………………………………………………8分

（2）
………………11分

所以
且
，……………………………………13分

解得
.………………………………………………………………15分

16．（本题满分15分）

解：（1）
；…………………………………………3分

（2）（捆绑法）
……………………………………7分

（3）（插空法）
；…………………………………11分

（4）
.………………………………………………15分

17．（本题满分15分）

解：（1）
，………………………………………………2分

解得
；………………………………………………3分

含项的系数为
，…………………………5分

解得
（舍负）.………………………………………6分

（2）
；…………………………9分

（3）
，………………11分

所以含
的系数为
.………………………………15分

18．（本题满分15分）

解：（1）设“取出的4个球均为黑球”为事件，

；

答：……………… ………………………………3分

（没有设或答扣一分）

（2）设“取出的4个球恰有1个红球”为事件，

；

答：……………… ……………………………………6分

（没有设或答扣一分）

（3）
所有可能的值为0，1，2，3，4，

， ……………………………………………………………………8分

，……………………………………………………………………10分

，…………………………………………………12分

…………………………………………14分

所以
的分布列为

1

2

3

4















…………………………15分

19．（本题满分15分）

结论 ：
………………………………3分

证明：①当
时，显然成立；…………………………………………5分

②假设当
时，不等式成立，

即
，………………………7分

则
时，

……………………………………………………14分

由①②，不等式对任意正整数成立.………………………………15分

20．（本题满分15分）（1）证明：

方法1 由

令
，得
. …………………………3分

方法2 数学归纳法

①当
时，显然成立；

②假设当
时，
，

则当
时，由

所以，

由①②，等式对于任意
恒成立.

…………………………………7分

方法3 含个元素的集合的子集个数按两种方式计算可证

（方法1给4分，其他方法6分）

（2）方法1

先证
.

，（注意
）

，

所以
。 ……………………………………………………9分

所以

…………………………11分

方法2 由
，

两边求导，得
，……………………14分

令
，得
. ……………15分