效实中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学（理）试题（3-9班）

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．

请在答题卷内按要求作答

第Ⅰ卷（选择题　共30分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1、设
，若
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2、
的极大值点是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3、若
，则下面四个式子中恒成立的是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

4、设曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
等于

（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5、已知函数
的极大值点和极小值点都在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6、在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
.曲线
的参数方程为
，则直线
和曲线
的公共点有（ ）

（A）
个 （B）
个 （C）
个 （D）无数个

7、设
，则
三数中（ ）

（A）至少有一个不大于2 （B）都小于2 （C）至少有一个不小于2 （D）都大于2

8、用数学归纳法证明：
，第二步证明“从
到
”，左端增加的项数是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

9、已知函数
在
处有极值，则函数
的图象可能是（ ）

10、已知
，其中
，如果存在实数
，使
，则
的值（ ）

（A）必为正数 （B）必为负数 （C）必为非负数 （D）必为非正数

第Ⅱ卷（非选择题　共70分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．

11、已知
为抛物线
上两点，点
的横坐标分别为
，过点
分别作抛物线的切线，两切线交于点
，则点
的坐标为 ▲

12、在极坐标系中，曲线
，曲线
，若曲线
与
交于
两点，则线段
的长度为 ▲

13、两点等分单位圆时，有相应正确关系为
；三点等分单位圆时，有相应正确关系为
。由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为 ▲

14、已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 ▲

15、已知函数
在
上可导，且
，

比较大小：
▲__

16、设函数
，对任意
，不等式
恒成立，则正数
的取值范围是 ▲

17、若
时，函数
在
上有且只有一个零点，则
= ▲

三、解答题（共49分）

18、已知函数
；

（1）若
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，求实数
的值；

（2）当
时，求证：当
时，
．

19、设数列
的前
项和为
，且对任意
都有：
；

（1）求
；

（2）猜想
的表达式并证明．

20、以原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
，过点
的直线
的参数方程为
，设直线
与曲线
分别交于
；

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
成等比数列,求
的值．

21、已知函数
，
；

（1）讨论
的单调性；

（2）若
在
上的最大值为
，求
的值．

22、函数
；

（1）若
在
处取极值，求
的值；

（2）设直线
和
将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域（不包括边界），若
图象恰好位于其中一个区域，试判断其所在区域并求出相应的
的范围．

高二（理）第二学期期中考试答案

1-10：BABADBCBAB

11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、

19、（1）

， 又
，

，
， （2）猜想
下面用数学归纳法证明（略）

20、（1）
直线

（2）
代入
得

，由

又因为
，所以

21、（1）

若
，
在

若
，
在

若
，
在

若
，
在

若
，
在

（2）

若
，
，
，舍去

若
，
，
舍去

若
，
，

若
，
，
，舍去

若
，
，
，舍去

综上所述

（2）
，
Ⅲ或Ⅳ，

若图像在区域Ⅲ，则有
恒成立，
，
，

设
，只要
，

，

，
，故

若图像在区域Ⅳ，则有
恒成立，
，
，

设
，只要
，

，当
时，
，不会成立

综上所述