余姚中学 高二数学期中试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.复数
的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

2.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程
有有理根，那么
中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）

A．假设
都是偶数 B．假设
都不是偶数

C．假设
至多有一个是偶数 D．假设
至多有两个是偶数

3.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　 )

A． B． C． D．

4．若关于
的方程
有实根，则实数
等于( )

A．
B．
C．
D．

5.设复数
满足条件
那么
的最大值是（ ）

A.3 B.4 C.
D.

6. 已知函数
在（1，4）上是减函数，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

7.设函数f (x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f (x)＋f ′(x)为奇函数，则φ＝（ ）

A.
B.
C.
D.

8.定义域
的奇函数
，当
时，
恒成立，若
，
，
，则（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m

的值为( )

ξ

1

2

3

4



P



m

n





A. B. C. D.

10. 已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2013，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，

fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2014(x)＝( )

A．sinx＋ex　 B．cosx＋ex C．－sinx＋ex D．－cosx＋ex

二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)

11.已知
,则复数
=

12.函数
在区间
上最大值为

13.若直线
是曲线
的切线，则实数
的值为 .

14. 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，

则a10＋b10＝

15．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝____ ____.

16. 设f (z)=2z(cos+icos)，这里z是复数，用A表示原点，B表示f (1+i)所对应的点，C表示点-
所对应的点，则∠ABC= 。

17．在圆中有结论：如图所示，“AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A，B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PO2＝PC·PD”．类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴，直线AC，BD是椭圆过A，B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有__

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三、解答题：（14分+14分+14分+15分+15分=72分）

18．（本小题满分14分）已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．

(1)求检验次数为4的概率；

(2)设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19．（本小题满分14分）某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.

(1)写出ξ的概率分布列，并求出E(ξ)，E(η)；

(2)求D(ξ)，D(η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？

20. （本小题满分14分）已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且

点P1的坐标为(1，－1)．

(1)求过点P1，P2的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．

21. （本小题满分15分）设函数

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式
在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.

22. （本小题满分15分）已知函数
在点
处的切线方程

为
．

（I）求
，
的值；

（II）对函数
定义域内的任一个实数
，
恒成立，求实数
的取值范围．

余姚中学高二数学（理）期中试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.B 2. B 3.　D　4． A 5. B 6. C 7. D 8. A 9． A　10. C

二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)

11. 1-3i 12.
13.
14. 123 15．________.

16.
。 17． __ PF1·PF2＝PC·PD __．”

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三、解答题：（14分+14分+14分+15分+15分=72分）

18．记“在4次检验中，前3次检验中有1次得到次品，第4次检验得到次品”为事件A，则检验次数为4的概率

P(A)＝·＝.

(2)ξ的可能值为2,3,4,5,6，其中

P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝·＝，

P(ξ＝4)＝P(A)＝， P(ξ＝5)＝·＋＝，P(ξ＝6)＝＝.

ξ的分布列为

ξ

2

3

4

5

6



P













ξ的期望E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝5.

19．【答案】(1)ξ的概率分布列为

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.

由题意，η～B(3，)，E(η)＝3×＝2.

或者，P(η＝0)＝C()3＝；

P(η＝1)＝C()1()2＝；

P(η＝2)＝C()2()＝；

P(η＝3)＝C()3＝．

所以，E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.

(2)D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，

由η～B(3，)，D(η)＝3××＝．

可见，E(ξ)＝E(η)，D(ξ)

因此，建议该单位派甲参加竞赛．

20. (1)解　由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.

∴b2＝＝，a2＝a1·b2＝.

∴点P2的坐标为.

∴直线l的方程为2x＋y＝1.

(2)证明　①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．

②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立．

则2ak＋1＋bk＋1＝2akbk＋1＋bk＋1

＝(2ak＋1)＝＝＝1.

∴n＝k＋1时，命题也成立．

由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上．

21 【答案】解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－
)(x+a),

又a>0，∴当x<－a或x>
时f′(x)>0； 当－a

∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(
，+∞)，单调递减区间为(－a，
).

（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根

∴
，解得a>3.

（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知
∈[1，2]，－a≤－3

又x∈[－2,2] ∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}

而f(2)－f(－2)=16－4a2<0 f(x)max=f(-2)= －8+4a+2a2+m （10分）

又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立 ∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1

即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立

∵9－4a－2a2的最小值为－87 ∴m≤－87.

22. 【答案】解：（Ⅰ）由

而点
在直线
上
，又直线
的斜率为

故有

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

由
及

令

令
，故
在区间
上是减函数，故当
时，
，当
时，

从而当
时，
，当
时，

在
是增函数，在
是减函数，故

要使
成立，只需
故
的取值范围是