江西省白鹭洲中学2012-2013学年高二下学期期中考试 数学

考生注意：

本试卷设Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分，试卷所有答案都必须写在答题纸上。

答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

考试时间为120分钟，试卷满分为150分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题(本题共有10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分50分)

1．设i是虚数单位，则复数
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.
等于 （ ）

A． B．2 C．－2 D． +2

3. 命题“若
，则
”的否定是 （ ）

若
，则

若
，则

存在
，使
D．若
，则

4. 已知p：|2－3| < 1，q： (-3)< 0，则p是q的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．对于R上可导的任意函数
，若满足
，则必有 （ ）

A．
B．

C．
D．

6.在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为 （　　）

　A．
B．
C．
D．
　 　 　　

7．已知
，则
等于 （ ）

A．0 B．－4 C．－2 D．2

8. 用数字
组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为 （ ）

A.
B.
C.
D.

9.设随机变量X的分布列如右：其中a、b、c成等差数列，若
，则
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．设
，则任取
，关于x的方程
有实根的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题(本题共有5小题，每题填对得5分，本题满分25分.)

11．已知二项式
的展开式的二项式系数之和为
，则展开式中含项的系数是______

12．由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为_________

13．已知
……,若
（a,t均为正实数），类比以上等式，可推测a-t的值 =_________.

14．如图，圆O:x2+ y2=
内的正弦曲线y= sinx与x轴围成的

区域记为M（图中阴影部分），随机向圆O内投一个点P，则

点P落在区域内的概率是_________

15．在如图的矩形长条中，涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有_________种















三、解答题（本大题共6个小题，共75分）

16．日本欲非法将我国领土钓鱼岛及附属岛屿国有化，激起我国民强烈愤慨.某历史老师提出4个有关钓鱼岛的问题让甲同学连续依次作答,并规定:若甲同学连续答错两个问题则停止作答.已知甲同学回答每个问题正确的概率都是
,且回答各个问题之间不受影响.设甲同学回答问题的个数为X,求X的分布列及数学期望

17．已知
分别是
中角
的对边，且

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若
，求
.

18．甲、乙、丙、丁四人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局四人同时出剪刀、石头、布中的一种手势，且是相互独立的，设在一局中甲赢的人数为X．

（Ⅰ）在一局中甲恰好赢3人的概率；

（Ⅱ）列出随机变量X的分布列并求数学期望．

19、如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

(Ⅰ) 求异面直线AP与BC所成角的大小；

(Ⅱ) 在
上是否存在一点，使得二面角E-BC-A的大小为
．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

20． 已知函数f （x）＝lnx．

（Ⅰ）函数g（x）＝3x－2
，若函数F（x）＝f（x）＋g（x），求函数F（x）的单调区间；

（Ⅱ）函数h（x）＝
，函数G（x）＝h（x）·f（x），若对任意x∈（0，1），

G（x）＜－2，求实数a的取值范围．

21．已知函数
为实常数）．

（Ⅰ）当
时，求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）若方程
（其中
）在区间
上有解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：
（参考数 据：
）

白鹭洲中学2012—2013学年度第二学期期中考试

高二年级数学试卷（理科）答题卡

考生注意：

1、考生务必用黑色签字笔填写试题答案，字体工整、笔记清楚。

2、答题前，请考生叫密封线内的姓名、班级、考号填写清楚。

3、保持卷面整洁，不得折叠、不要弄破。

一、选择题（5×10=50）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10















































二、填空题（5×5=25）

11、________ 12、________ 13、_______ 14、 ________ 15、________

三、解答题（本大题共6小题，共计75分。）

16（本题满分12分）

17（本题满分12分）

18（本题满分12分）

19（本题满分12分）

20（本题满分13分）

21（本题满分14分）

白鹭洲中学2012—2013学年下学期高二年级期中考试

数学试卷（理科）参考答案和评分标准

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

























A

D

C

A

C

B

B

C

B

A



二、填空题

11、10 12、 13、-29 14、
15、30

三、解答题

16、
…………4分

………… 6分

…………8分

…………12分

17. 解：（Ⅰ）由已知得
……2分

所以
……4分

则
……6分

18. 解：（1）
…………………4分

（2）
…………………6分

…………………8分

…………………10分

0

1

2

3















（2）
1．…………………12分

19、解法一：（Ⅰ）

过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．则
为异面直线PA与BC所成的角．

可得AB⊥BC，∴CFAF． 由三垂线定理，得PFAF．则AF=CF=
，PF=
，

在
中，tan∠PAF=
=
，即∠PAF=
．

∴异面直线PA与BC所成的角为
．

（Ⅱ）假设点E存在，过E作EFCA于E，过F作FOBC于O．

∵PC平面ABC，∴平面PCA平面ABC，∴EF平面ABC．

由三垂线定理，得EOBC．∴
为二面角E-BC-A的平面角．

设
，则
，
．

由
∽
，得
，

即
．

．

∴当
时，二面角E-BC-A的大小为
．

解法二：（Ⅰ） AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=
．

以B为原点，如图建立坐标系．则
，
，
，
．

，
．

∴
=
=
．

∴异面直线AP与BC所成的角为
．

（Ⅱ）设
，

则
，∴
．

设平面PBC的法向量为
=
，则

，即
，令
，得
．

取平面ABC的法向量为
．

由
，得
．

∴当
时，二面角E-BC-A的大小为
．

(20)解：（Ⅰ）函数
，其定义域为
.…………………………1分

.…………………3分

当
,
,函数
单调递增，………………………………………4分

当
,
,函数
单调递减，………………………………5分

∴函数
的单调递增区间为
；函数
的单调递减区间为
.……6分

（Ⅱ）
，由已知
，因为
，

所以
．

①当
时，
．不合题意．…………………………………………8分

②当
时，
，由
，可得
．

设
，则
，
．
．

设
，方程
的判别式
．

若
，
，
，
，
在
上是增函数，

又
，所以
，
．…………………………………………10分

若
，
，
，
，所以存在
，使得
，对任意
，
，
，
在
上是减函数，

又
，所以
，
．不合题意．

综上，实数的取值范围是
．………………………………………………13分

21、解：（Ⅰ）当
时，
，
，令
，又
，
在
上单调递减，在
上单调递增．当
时，

．
的最小值为
． …．4分

(Ⅱ)
在
上有解
在
上有解
在
上有解．令
，
，

令
，又
，解得：
．
在
上单调递增，

上单调递减，又
．
．即
．故
．……9分

(Ⅲ)设
，

由（Ⅰ），
，
．
．

．

．

构造函数
，当
时，
．

在
上单调递减，即
．当
时，

．
．即
．

．

故
． …14分