苍山县2012-2013学年第二学期期中质量检测

高二数学（理）答案

一、选择题

1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 A 7 D 8 A 9 C 10 A 11 D 12 B

二、填空题

13 2 14 1 15 ln2 16 ②③④

三、解答题

17．解：
，……………4分

令
，得
，
．……………5分

变化时，
的符号变化情况及
的增减性如下表所示：

……………8分

(1)由表可得函数的递减区间为
．……………10分

(2)由表可得，当
时，函数有极大值为
；

当
时，函数有极小值为
．……………12分

18．解：设虚数
(
，且
)，……………2分

，……………6分

由已知得
……………10分

∵
，
解得
或

∴存在虚数
或
满足以上条件．……………12分

19．解：(1)∵
，∴
．……………1分

由已知函数的单调性，得
．……………4分

又

．……………5分

两式相加，得
．……………6分

(2)逆命题：


．……………7分

下面用反证法证之．

假设
，那么 ……………8分

．……………10分

这与已知矛盾，故只有
．逆命题得证．……………11分

综上所述，可知
．……………12分

20. 解：设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y则依题意有

=1000x-5（x-100）x （100≤x≤180）……………4分

令
得x=150……………8分

又
，
，
……………10分

所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。

……………12分

21. 解：

（1）
的定义域是(0,+), ……………2分

因为a = 3所以
=

……………4分

当
>0 即>2或0<<1 时
为增函数

当
<0 即1<< 2时
为减函数

所以
的单调递增期间为（0，1），（2，＋∞）

单调递减区间为（1 , 2）……………6分

（2）
……………7分

依题意
（等于零的点是孤立的）即
在[1，2]上恒成立

故
在[1，2]上恒成立。……………9分

令
∈[1，2]，由
得

=
或
（舍去） ……………10分

又
，
，

所以
∈[1，2] 的最大值为3

因此a≥3

满足题意的实数的取值范围为
。……………12分

22．解： (1) a1＝
, a2＝
, a3＝
, ……………2分

猜测 an＝2－
…………… 4分

(2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立； ……………5分

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－
, …………… 7分

当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, ……………9分

且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak ……………10分

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2ak＋1＝2＋2－
,
ak＋1＝2－
, ……………12分

即当n＝k＋1时,命题成立. ……………13分

根据①②得n∈N+ , an＝2－
都成立 ……………14分