本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合
则 “
”是“
”的 ( )

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件

C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件

2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为
，则抛物线的方程是 ( )

A
B
C
D

3．复数
的共轭复数是 ( )

A
B
C
D

4.若
则
＞0的解集为 ( )

A
B
C
D

5. 已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4）为三角形的三个顶点，则ΔABC为 ( )

A 直角三角形 B 钝角三角形 C 锐角三角形 D 等腰三角形

6．某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）

A 4种 B 10种 C 18种 D 20种

7．下列说法错误的是(　　)

A命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”

B “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件

C 若p且q为假命题，则p、q均为假命题

D 命题p：“?x0∈R使得x＋x0＋1<0”，则p：“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”

8．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)

A 1 B  C  D 

9. 已知抛物线C:
的焦点为F，直线
与C交于A,B两点，则

COS∠AFB= ( )

A
B
C —
D —

10．在ΔABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC，BC边上的高分别为BD，AE，则以A，B为焦点，且过D，E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ( )

A
B 1 C 2
D 2

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题　本大题共5个小题，每小题5分，共25分

11．设复数i满足
（i是虚数单位），则的实部是_________

12．在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为原点，焦点
在轴上，离心率为
.过
的直线交椭圆
于
两点，且
的周长为16，那么
的方程为 .

13．某中学教学楼二楼到三楼有一段楼梯共13阶，某同学在上楼时一步可上1阶或2阶，若该同学想用10步走完这一段楼梯，那么这位同学共有_________种不同的走法.（请用数字作答）

14. 在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．

15．下列命题：

①若f(x)存在导函数，则f′(2x)＝[f(2x)]′；

②若函数h(x)＝cos4x－sin4x，则h′＝0；

③若函数g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)…(x－2 010)(x－2 011)，则g′(2 011)＝2 010！；

④若三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则“a＋b＋c＝0”是“f(x)有极值点”的充要条件．

其中假命题为________．

三、解答题 本大题共6小题，共75分

16．（12分）如图，命题“是平面内的一条直线，
是外的一条直线（
不垂直于），是直线
在上的投影，若
，则
”.

（1）写出上述命题的逆否命题并判断其真假；

（2）写出上述命题的逆命题，判断其真假并证明.

17．（12分）赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？

18．（12分）已知
，讨论函数
的单调性.

19．（12分）图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得

BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC 的值；若不存在，试说明理由．

20（13分）设抛物线
的焦点为，准线为
，
，已知以为圆心，
为半径的圆交
于
两点；

（1）若
，
的面积为
；求的值及圆的方程；

（2）若
三点在同一直线上，直线与平行，且与
只有一个公共点，求坐标原点到
距离的比值.

21（14分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1



一 选择题（1-10*5=50分）

二 填空题（11-15*5=25分）

三．解答题（75分）

18．解：
=
，

设
，令
，得
，
.

① 当
时，
<
，，
与
的变化情况如下：





（
，-1）

-1

（-1，
）





-

0

+

0

-






↘

极小值

↗

极大值

↘



∴
在区间
，
上是减函数，在区间
上是增函数.

② 当=3时，
=
，在区间
，
上，
，即
<0，

∴
在区间
上是减函数.

③ 当
时，
>
，，
与
的变化情况如下：



-1

（-1，
）



（
，
）





-

0

+

0

-






↘

极小值

↗

极大值

↘



∴
在区间
，（
，
）上是减函数，在区间（-1，
）上是增函数.

19．(1)证明　连接BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点.ＯＢ、ＯＣ、ＯＳ分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示．

设底面边长为a，则高SO＝a.

于是S(0,0，a)，D，

C，B，

∴
＝，

＝，∴
·
＝0.故OC⊥SD，因此AC⊥SD.

(2)解　由题意知，平面PAC的一个法向量
＝，平面DAC的一个法向量
＝，

设所求二面角为θ，则cos θ＝
＝，故所求二面角P—AC—D的大小为30°.

(3)解　在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.

由(2)知
是平面PAC的一个法向量，且
＝，

而
＝，
＝，

设
＝t，

则
＝
＋
＝
＋t
＝.

由

＝0，得t＝，

即当SE∶EC＝2∶1时，ＢＥ⊥ＤＳ.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.

21．解：
令
.

当
时
单调递减；当
时
单调递增，故当
时，
取最小值

于是对一切
恒成立，当且仅当

　　　　　
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令
则

当
时，
单调递增；当
时，
单调递减.

故当
时，
取最大值
.因此，当且仅当
时，①式成立.

综上所述，的取值集合为
.

（Ⅱ）由题意知，

令
则

令
，则
.

当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.

故当
，
即

从而
，
又

所以

因为函数
在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在

使
即
成立.