一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.集合
,
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.抛物线
的焦点坐标为（　　） .

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
则与
同方向的单位向量是( )

(A)
(B)
(C)
(D)

4.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是( )

A．16 B．24 C．36 D．485．在
中，内角
所对的边分别为
，其中
，

且
面积为
,则
( )

A.
　 B.
C.
D.

6.设
,则
的值为( )

A.
　　　　 B.
　　　 C.
　　　　 D.

7.已知双曲线
的两条渐近线均和圆
相切，且双曲线的右焦点为圆
的圆心，则该双曲线的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 己知抛物线方程为
（
），焦点为，
是坐标原点，是抛物线上的一点，
与轴正方向的夹角为60°，若
的面积为
，则的值为（ ）

A．2 B．
C．2或
D．2或

9.P是双曲线
的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ 　 ）.

A. 6 B.7 C.8 D.9

10. 已知
分别为双曲线
（a＞0,b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，为双曲线左支上的任意一点，若
存在最小值为12a，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．若
展开式的常数项为60，则常数= ．

12、执行下边的程序框图，则输出的T的值是 ．

13.从集合
内任取一个元素
则
满足
的概率为 .

14. 一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是____ ____.

15.设A、B是抛物线
上的两个动点，且
则AB的中点M到轴的距离的最小值为 。

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

16．（本小题满分12分）已知
，函数

（Ⅰ）若
求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值和单调递增区间。

17．（本小题满分12分）某学校为调查高二年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取200名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170~175cm的男生人数有48人．

（Ⅰ）在抽取的学生中，身高不超过165cm的男、女生各有多少人？并估计男生的平均身高。

（Ⅱ）在上述200名学生中，从身高在170~175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出7人，从这7人中选派4人当旗手，求4人中至少有一名女生的概率．

18． （本小题满分12分）给定直线
动圆M与定圆
外切且与直线
相切．

（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（2）设A、B是曲线C上两动点（异于坐标原点O），若
求证直线AB过一定点，并求出定点的坐标.

19．（本小题满分12分）如图，
为圆
的直径，点、在圆
上，
，矩形
所在的平面与圆
所在的平面互相垂直．已知
,
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的大小；

（Ⅲ）当
的长为何值时，平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
？

20.(本题满分13分）已知数列
的前项和为
，且
，

数列
满足
，且点
在直线
上．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
；

（Ⅲ）设
，求数列
的前
项和
．

21. (本题满分14分) 设椭圆
的左、右焦点分别为
，

上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足
，且
．

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）是过
三点的圆上的点，到直线
的最大距离等于

椭圆长轴的长，求椭圆
的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点
作斜率为
的直线

与椭圆
交于
两点，线段
的中垂线

与轴相交于点
，求实数的取值范围．

高2011级高二下期阶段性教学质量评估检测（二）

数学（理科）试题答案

17．解：（1）由图(1)知：身高在170~175cm的男生的频率为
，

设男生总人数为m,则
， ∴
(人)，

∴女生总人数为200－120=80（人），┄┄2分

∴身高不超过165cm的男生有
（人），

身高不超过165cm的女生有
（人），┄┄4分

男生的平均身高为：
+
+
+

+
+
=173.75（cm）┄┄6分

(2) 身高在170~175cm之间的学生按男生为
（人），

身高在170~175cm之间的学生按女生为
（人），

∵
， ∴抽出7人中，有6个男生，1个女生，┄┄9分

∴这7人中选派4人当旗手的方法数共有
(种)，┄┄10分

4人中至少有一名女生的方法数为
（种），┄┄11分

∴4人中至少有一名女生的概率为
。┄┄12分

18．解：（1）由已知可得：定圆的圆心为（－3，0），且M到（－3，0）的距离比它到直线
的距离大1，∴M到（－3，0）的距离等于它到直线
的距离，┄┄3分

∴动圆圆心M的轨迹为以F（－3，0）为焦点，直线
为准线的抛物线，开口向左，

， ∴动圆圆心M的轨迹C的方程为：
┄┄6分

（也可以用直接法：
，然后化简即得：
）；

当AB不垂直x轴时，设AB：
，联立
和
有：

，∴

，

∵
∴


，即：
，

∴AB：
，此时直线AB与x轴交点为定点，其坐标为
,

综上：直线AB与x轴交点为定点，其坐标为
。

19． （I）证明：平面
平面
,
,

平面
平面
=
，

平面
．

平面
，
，…………2分

又
为圆
的直径，
，

平面
． …………3分

平面
，平面
平面
．

…………4分

（II）根据（Ⅰ）的证明，有
平面
，

为
在平面
内的射影,

因此，
为直线
与平面
所成的角 ……………5分

，四边形
为等腰梯形，

过点作
，交
于
．
,
，则
．

在
中，根据射影定理
，得
． …………6分

，
．
与平面
所成角的大小为
…8分

20. 【解】（Ⅰ）当
，
；当
时，
．．．2分

∴
，∴
是等比数列，公比为2，首项
∴
．．．3分；

又点
在直线
上，∴
，

∴
是等差数列，公差为2，首项
，∴
．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）∴

∴
①

②

①—②得

．．．．．．．．．．7分

．．．．．．．．．．．．．．．8分

．．．．．．．．．．．．．9分

（Ⅲ）

．．．．．．．．．．．．．．．11分

．．．．．．．．13分

因为
过点
，所以
恒成立

设
，
则
，

中点
．．．．．．．．．．．．．．．10分

当
时，
为长轴，中点为原点，则
．．．．．．．．．．．．．．．11分

当
时
中垂线方程
．

令
，
．．．．．．．．．．．．．．．12分

，
， 可得
．．．．．．．．．．．．．．13分

综上可知实数的取值范围是
． ．．．．．．．．．．．．．．14分