2012—2013学年度第二学期期中练习

高二文科数学（2014届）

出题人： 审核人：

考生

须知

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分为 150分。考试时间120分钟。

2．答题前，考生应认真在密封线外填写班级、姓名和学号。

3．试题答案一律不准用铅笔，否则以0分记。

4．考生只交答案纸。





第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________.

6
7
8
9

2.函数
的定义域为R，若
与
都是奇函数，则__________

A.
是偶函数 B.
是奇函数

C.
D.
是奇函数

3．关于
的不等式
的解集是
，则关于
的不等式
的解集是

A ．
，
B ．
，

C．
，

，
D．
，

，

4.设
满足约束条件
，若目标函数
的是最大值为12，则
的最小值为

A.
B.
C.
D. 4

5.数列
中，已知
，
，则
为

A．
B．
C．
D．

6.已知函数
，且
，则

A．
　　 B．
　 C．
　 D．

7. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）分别为该少数民族刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第
个图形包含
个小正方形.则

（1） （2） （3） （4）

A. 25 B. 37 C. 41 D. 47

8. 命题“存在
，使得
”的否定是

A．不存在
，使得
B．存在
，使得

C．对任意的
，
D. 对任意的
，

9. 下列选项中，
是
的必要不充分条件的是

A．
：

：
且

B.
：

：

C.
：
是纯虚数
：

D.
：
在
上单调递增
：

10. 已知曲线
，直线
是过点
且与曲线相切的直线，则直线
的方程是

A.
B.

C.
或
D.
或

11. 已知
、
为互不相等的两个正数，下列四个数
，
，
，
中，最小的是

A．
B.
C.
D.

12. 已知函数
，设其在
处有最大值，则下列说法正确的是

A.

B.

C.
D.
与
的大小关系不确定

第Ⅱ卷 （90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若
则

14.如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，

AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝______

15.已知
在其定义域
上为增函数，
，

，则不等式
的解集是

16. 下列说法正确的是_______________

①用最小二乘法求的线性回归直线
必过点

②已知
是偶函数，定义域为
，则

③
为偶函数

④采取简单随机抽样，从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体
前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为

三、解答题

17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i

（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）对应点在x轴上方；

18．已知函数f（x）=
+cx+d的图象过点（0，3），且在（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）上为增函数，在（﹣1，3）上为减函数．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在R上的极值．

19．（12分）已知a，b，c为正实数，a+b+c= 1，求证：
．

20．（12分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2，0），离心率为
，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N

（Ⅰ）求椭圆C的方程

（Ⅱ）当△AMN的面积为
时，求k的值．

21．（13分）已知命题p：x2﹣5x﹣6≤0，命题q：x2﹣2x+1﹣4a2≤0（a≥0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．

（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

高二文科数学参考答案

一．选择题

1-5ADCCC 6-10DC D A D
A B

二．填空题：

13．31 14．5 15．
16．①②④

三：解答题：

17. 解: （1）由m2﹣2m﹣15=0，得知：m=5或m=﹣3时，z为实数．

（2）由m2﹣2m﹣15≠0，得知：m≠5且m≠﹣3时，z为虚数．

（3）由（m2﹣2m﹣15≠0，m2+5m+6=0，）得知：m=﹣2时，z为纯虚数．

（4）由m2﹣2m﹣15＞0，得知m＜﹣3或m＞5时，z的对应点在x轴上方．

18.解：（1）∵f（x）的图象过点（0，3），

∴f（0）=d=3

∴
，

∴f'（x）=x2+2bx+c

又由已知得x=﹣1，x=3是f'（x）=0的两个根，

∴

故
…（8分）

（2）由已知可得x=﹣1是f（x）的极大值点，x=3是f（x）的极小值点

∴f（x）极大值=

19.证明：由题意知
=

=3+（
）+（
）+（
）

∴
，
，
．

当且仅当a=b=c时，取等号，

∴
．

20. 解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为
，

∴

∴b=

∴椭圆C的方程为
；

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立
，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，

∴|MN|=
=

∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为

∴△AMN的面积S=

∵△AMN的面积为
，

∴

∴k=±1．





21. 解：∵x2﹣5x﹣6≤0

∴﹣1≤x≤6，

∴非P：A={x|x＜﹣1或x＞6}

∵x2﹣2x+1﹣4a2≤0（a≥0），

∴q：1﹣2a≤x≤1+2

∴非p：B=（x|x＜1﹣2a或x＞1+2a

∵￢p是￢q的必要不充分条件

∴B是A的真子集

∴1+2a≥6，1﹣2a≤﹣1，a＞0

∴a

即当a
时，￢p是￢q的必要不充分条件

22.解：（Ⅰ）由已知
，则f'（1）=2+1=3．

故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；

（Ⅱ）
．

①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0

所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．

②当a＜0时，由f'（x）=0，得
．

在区间
上，f'（x）＞0，在区间
上

f'（x）＜0，

所以，函数f（x）的单调递增区间为
，单调递减区间为
；

（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，

因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，

所以g（x）max=2…（9分）

由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．

当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，

故f（x）的极大值即为最大值，

f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），

所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣
．