命题人：程荣辉 审题人：欧学慧

选择题（每小题5分，共40分）

1．下列求导正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

2．定义运算
，则符合条件
的复数为（　 ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

3、下列结论中正确的是( )

(A)导数为零的点一定是极值点

(B)如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值

(C)如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极小值

(D)如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值

4．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数
中恰有一个偶数”正确的反设为（　　）

Ａ．
都是奇数 Ｂ．
都是偶数

Ｃ．
中至少有两个偶数 Ｄ．
中至少有两个偶数或都是奇数

5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）

A．8 B．24 C．48 D．120

6．曲线
与轴以及直线
所围图形的面积为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ．
Ｄ．

7. .将5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

（A）480?种???????? （B）240种?????? （C）120种???????? （D）96种

8、已知函数
的图象如右图所示，则有( )

A．a>0 ,c<0 B．a>0,c>0

C．a<0,c<0 D．a<0,c>0

填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)

9. 在复平面内, 复数1 + i与
i分别对应向量
和
, 其中
为坐标原点,则
=

10．积分
；积分
。

11．设含有10个元素的集合的全部子集数为
，其中由3个元素组成的子集的个数为，则
的值是 。（用数字作答）

12．若函数
的图象在
处的切线方程是
，

则
．

13. 已知函数
在定义域内是增函数，

则实数的取值范围为 ．

14. 图中由火柴杆拼成的一列图形中，第个图形由个正方形组成：

通过观察可以发现：第个图形中，火柴杆有 根．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题12分）实数m取什么值时，复数
是：

（1）实数 （2）虚数 （3）0

16．（本小题12分）设
．

（1）求
的单调区间；

（2）求函数
在
上的最值．

17.（本小题14分）已知函数
在
处取得极值.

(1)讨论
和
是函数
的极大值还是极小值;

(2)过点
作曲线
的切线,求此切线方程.

18．（本小题14分）在数列
中，
，且前项的算术平均数等于第项的
倍
．

（1）写出此数列的前5项；

（2）归纳猜想
的通项公式，并加以证明．

19．（本题满分14分）

设曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
，若存在
，使得
⊥
，求实数的取值范围．

20．（本小题14分）

高二理科数学参考答案（期中考试）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）

二、填空题: （本题共6题,每小题5分，共30分）

9. 2 10. 1 ;
11.

12 . 3 13.
14. 3n+1

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分　解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

15 .（12分）

解：（1）当
时，复数z是实数； …………4分

（2）当
时，复数z是虚数；…………… 8分

（3）由复数相等的定义，得
，即
时，
…… 12分

16．（本小题12分）

解：依题意得，
，定义域是
．

（1）
,

令
，得
或
，

令
，得
，

由于定义域是
，

函数的单调增区间是
，单调递减区间是
．

（2）令
，得
，

由于
，
，
，

在
上的最大值是
，最小值是
．

17.（本小题14分）

解：（1）
，依题意，

，即
解得
┅┅ （3分）

∴
，∴

令
，得

若
，则

故
在
上是增函数；

若
，则

故
在
上是减函数；

所以
是极大值，
是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （7分）

（2）曲线方程为
，点
不在曲线上。

设切点为
，则

由
知，切线方程为

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （10分）

又点
在切线上，有

化简得
，解得

所以切点为
，切线方程为
┅┅┅┅┅┅ （14分）

（2）由（1）中的分析可以猜想
．

下面用数学归纳法证明：

①当
时，猜想显然成立．

②假设当
时猜想成立，即
．

那么由已知，得
，

即
．

所以
，

即
，

又由归纳假设，得
，

所以
，

即当
时，公式也成立．

即(ax0＋a－1)·(x0－2)＝－1，从而a＝，其中x0∈………………8

令f(x)＝，则f′(x)＝
，……………………9

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增．

又因为f(0)＝，f(1)＝1，f＝，所以a的取值范围是…………………14

（本小题14分）

【解析】（1）当
时，
，定义域是
，

， 令
，得
或
．…2分

当
或
时，
，当
时，
，

函数
在
、
上单调递增，在
上单调递减． ………4分

的极大值是
，极小值是
．

在
上是增函数． ………………………7分

①当
时，
，即
；

②当
时，
，即
；

③当
时，
，即
． …………………………9分

（3）（法一）根据（2）的结论，当
时，
，即
．

令
，则有
，
． …………12分

，

． ……………………………14分

(法二)当
时，
．

，
，即
时命题成立． ………………………10分

设当
时，命题成立，即
．

时，

．

根据（2）的结论，当
时，
，即
．

令
，则有
，

则有
，即
时命题也成立．………13分

因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………14分

（法三）如图，根据定积分的定义，

得

．……11分

，

． ………………………12分

，

又
，
，

．

． …………………………14分

【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．