铁岭高中高二下学期期中试题

数 学（理）

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面
，直线
平面
，直线
∥平面
，则直线
∥直线
”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

2. 等于（ ）

A.－i B.－i C．－－i D．－－i

3. 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为( )

A.56????????? B.52? ?? C .48? ??????? D.40

4.学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为
，面积为S，则其内切圆半径
”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V,则其内切球半径
”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为
,b，则其外接圆半径
”；类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为
、b、c，则其外接球半径
”．这两位同学类比得出的结论（ ）

A．两人都对 B．甲错、乙对 C．甲对、乙错 D．两人都错

5. 如果复数z满足|z-1|+|z+1|=2，那么|z-1-i|的最小值是 （ ）

A．2 B．1 C．
D．不存在

6. 已知

的导函数是
,记

则 （ ）

A．A>B>C B．A>C>B C．B>A>C D．C>B>A

7. .某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）

A.2000?????? B.4096????? C.5904??????????????? D.8320

8. f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足
≥ f(x)，对任意正数a，b，若a

A．af(a)≤bf(b) B．bf(a)bf(b) D．bf(a)≥af(b)

9. 一质点运动时速度为v(t)＝t2－t＋2，（t为时间），质点作直线运动，则此物体在时间
内的位移为 (　 　)

A.　　　　　B. C. D.2

10. 有A．B．C．D．E．F 6个集装箱，准备用甲．乙．丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个.若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为 （　 ）

A．168　　　　　 B．84　　 C．56　　　　　 D．42

11. 设函数
的定义域D ，若对任意的
,都有
，则称函数
为 “Storm”函数，那么下列函数是“Storm”函数的是（ ）

①
（
） ②
（
）

③
（
） ④
（
）

A ①③ B ③ C ②③ D ③④

12. 若
为
的各位数字之和
．如：因为
，所以
．记
，
，……，
，
，则
＝（ ）．

A 5 B 8 C 11 D 17

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.
+
的值为

14. 用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个

区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，不同的染色方法

的种数有 种。

15．在
上的可导函数
，当
取得极大值，当
取得极小值，则
的取值范围是 。

16. 设
,用
表示不超过
的最大整数，已知函数
，
，数列
的通项公式为
，
,
是该数列的前
项的和，则
等于 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本小题10分) 已知z=1+i.

(1)设ω=
+3(1－i)－4,求ω;

(2)如果
=1－i,求实数a、b的值.

18. （本小题满分12分）

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得
四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm
）最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm
）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

19. （本小题满分12分）

求由两条曲线
，
及直线y= -1所围成图形的面积，并画出简图。

20. （本小题满分12分）

若
，观察下列不等式：

，
，…，

请你猜测
将满足的不等式，

并用数学归纳法加以证明。

21. （本小题满分12分）用反证法证明：

已知
，
，
，求证：
，
，
。

22. （本小题满分12分）

已知函数
（其中e是自然对数的底数，k 为正数）.

（1）若函数
在
处取得极值，且
是方程
的一个根，求k的值；

（2）若
，求函数
在区间
上的最大值；

（3）设函数
在区间
内是减函数，求
的取值范围。

2012-2013学年度下学期期中考试高二试题

数 学（理科答案）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

C

C

B

A

C

A

A

D

D

C





13. 31 14. 180 15.
16. 0

17. 解： (1)由z=1+i,有ω=z2+3(1－i)－4=(1+i)2+3(1－i)－4=2i+3－3i－4=－1－i. 4分

(2): 由z=1+i,有

=
=(a+2)－(a+b)i. 9分

由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i.

根据复数相等的定义，得
解得
12分

18.（1）根据题意有

（0

所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.

（2）根据题意有
，

所以，

当
时，
，

所以，当x=20时，V取极大值也是最大值. 此时，包装盒的高与底面边长的比值为
.

即x=20包装盒容积V（cm
）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为

19.由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．

由
得C（1，-1）．同理得D（2，-1）．

∴ 所求图形的面积S=

．

20解：将满足的不等式为
，

证明如下：

当
时，结论成立；

假设
时，结论成立，即

那么，当
时，

显然，当
时，结论成立。

由
、
知对于大于
的整数
，
成立。

21. [证明]　用反证法：

假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，

可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)

ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2

∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，

这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立． 因此a>0，b>0，c>0成立．

22. （1）由已知得
，即

又
即

（2）
，
，由此得
时，

单调递减；
时
单调递增，故

又
，当
即
时

当
即
时，

（3）
在
恒成立，即
在
恒成立，

在
恒成立，又在
，当且仅当x=1时等号成立，所以