哈三中2012-2013学年度下学期

高二学年第一模块考试 数学（理）试卷

考试说明:（1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，

考试时间为120分钟；

（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷 (选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上.

1. 在复平面内，表示复数
（
是虚数单位）的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设
为可导函数，且满足
，则函数
在
处的导数值为

A. 1 B.
C. 1或
D. 以上答案都不对

3．200辆汽车经过某一地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为

A．65辆

B. 76辆

C. 88辆

D. 95辆

4. 函数
的定义域为
，其导函数
的图象如图所示，则函数

A. 有三个极值点，但无法判断有几个极大值，几个极小值

B. 有一个极大值点，两个极小值点

C. 有两个极大值点，两个极小值点

D. 有四个极值点，但无法判断有几个极大值，几个极小值

5. 命题“存在
，使得
”的否定是

A．不存在
，使得
B．存在
，使得

C．对任意的
，
D. 对任意的
，

6．计算
的结果为

A．0 B．
C.
D．

7. 两名射击运动员甲、乙在某次比赛中的成绩（单位：环）用茎叶图表示如下，甲、

乙两人射击成绩的中位数分别用
、
表示，则

A.

B.

C.

D.
、
的大小关系不确定

8. 设
，
，
，

，
，

则

A.
B.
C.
D.

9. 下列选项中，
是
的必要不充分条件的是

A.
：

：
且

B.
：

：

C.
：
是纯虚数
：

D.
：函数
在
上单调递增
：

10. 已知曲线
，直线
是过点
且与曲线相切的直线，则直线
的方程是

A．
B．

C．
或
D．
或

11. 下列命题中，错误的是

A．人的身高和体重具有相关关系

B．简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等

C．因为正方体边长越大，体积越大，所以正方体的体积和边长呈正相关关系

D．回归分析中，相关指数
越接近1，说明模型的拟合效果越好

12.
，设其在
处有最大值，则下列说法正确的是

A.
B.

C.
D.
与
的大小关系不确定

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.

13. 已知
是虚数单位，
（用
的形式表示，
）.

14．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，3，…，99．按编号顺序平均分成

10个小组，组号依次为1，2，3，…，10，现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样

本，如果在第1组随机抽取的号码为0，那么在第5组抽取的号码是 ．

15. 已知函数
，
，如果对任意的
，
，不等式

恒成立，则正数
的取值范围是 .

16. 已知
，
，且
和
的定义域都

是
，下列命题：

（1）
在其定义域上恰有一个零点；

（2）
在其定义域上恰有一个零点；

（3）若
，则
；

（4）若
，则
.

其中正确的是 （把所有正确命题的序号填在答题卡的相应位置上）.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.

17. (本小题满分10分)

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调递增区间.

18. (本小题满分12分)

为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间的关系，下表记录了小李某月连续5天每天打篮球时间
（单位：小时）与当天投篮命中率
之间的关系：

时间

1

2

3

4

5



命中率

0.4

0.5

0.6

0.6

0.4



（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出投篮命中率
与打篮球时间
（单

位：小时）之间的回归直线方程
；

（Ⅱ）如果小李某天打了2.5小时篮球，预测小李当天的投篮命中率.

（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
）

19. (本小题满分12分)

已知函数
，当
时，
取得极小值
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值和最小值.

20. (本小题满分12分)

某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称

为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中抽查100名同学.[来源:学.科.网]

（Ⅰ）求抽取的100名同学中，有多少名A 类同学？

（Ⅱ）如果以身高达到170厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到2×2列联表如下：

体育锻炼与身高达标2×2列联表[来源:学科网]

身高达标

身高不达标

总计



积极参加体育锻炼

40

35

75



不积极参加体育锻炼

10

15

25



总计

50

50

100



请问是否有99%以上的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？.

参考公式:K
=
，

参考数据:

P(K

k)

0.25

0.15

0.10

0.05

0
.025

0.010

0.001



k

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828





21. (本小题满分12分)

已知函数
，
.

（Ⅰ）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）如果当
时，关于
的不等式
在实数范围内总有解，求实数
的取值范围.

22. (本小题满分12分)

已知函数
，
.
图象恒过定点
，

且
点既在
图象上，又在
的导函数的图象上.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，求证：当
且
时，
；

（Ⅲ）求证：
（
且
）.

哈三中2012-2013学年度下学期

高二学年第一模块考试数学（理科）答案

一、选择题：

B B B C D
C B B A D
CB

二、填空题：

13、
14、
15、
16、⑴ ⑵ ⑶

解答题：

17、（Ⅰ）因为

所以

所以

即

（Ⅱ）因为

所以增区间为
和

18、（Ⅰ）因为

所以

（Ⅱ）
所以命中率为0.495.

19、（Ⅰ）因为
所以
所以

（Ⅱ）因为

所以

所以

列表如下







1





2









—





+











单调递减





单调递增






因为

所以

20、（Ⅰ）75名.

（2）因为

所以没有99%的把握认为体育锻炼与身高达标有关系.

21、（Ⅰ）已知对任意
，
恒成立，则
，

即对任意
，不等式
恒成立.

令
，当
时，

所以
在
上单调递增，

函数
有最小值，最小值为
，

所以
，解得
；

（Ⅱ）因为
，所以

因为
，所以

由

所以
时，函数
单调递减，

时，函数
单调递增，

所以

因为不等式
在实数范围内总有解，

则不等式
恒成立，

即当
时，不等式
恒成立.

令
，
，则
，

，即
时，函数
单调递增，

，即
时，函数
单调递减，

所以函数
有最小值，最小值为
，

所以
.

22、（Ⅰ）因为
所以
恒过
所以

所以

因为

所以
即
，
.

（Ⅱ）证：
，即证
时，
异号

因为

所以当
时，

因为

所以
在
单调递减，又

所以
所以

因为当
时，

所以

所以
所以

综上得证.

（Ⅲ）因为
令
（
）

所以

所以

……

所以
所以
.