长沙县实验中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学（理）试题

时量：120 分钟 总分：150

一、选择题：（本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个正确的选项）

1.复数
（i为虚数单位）的实部是（ ）

A．-1 B．1 C．
D．

2.
的值为 ( )

A.
B.
C.
D.

3.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ( )

A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除

4.已知函数
在
上连续可导，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

5.计算定积分
的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.根据下边给出的数塔猜测123456
9+8=（ ）

1
9+2=11

12
9+3=111

123
9+4=1111

1234
9+5=11111

A .1111110 B. 1111111 C. 1111112 D. 1111113

7．若△ABC的三边之长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则△ABC的面积为
．根据类比思想可得：若四面体A-BCD的三个侧面与底面的面积分别为
，内切球的半径为r，则四面体的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．若
，则
等于( )

A. 1 B.-1 C.10 D.0

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

9．已知复数
，其中i是虚数单位，则
= .

10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 .

11.在
的展开式中，含
的项的系数是 .

12．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有 种.（用数学作答）

13.从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有______种.

14．下图的数表满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角。

则第n行
第2个数是_________.

15.从正方体的各表面对角线中随机取两条.

(1)互相平行的直线共有_______对;

(2)这两条表面对角线所成角的度数的数学期望为_________(用弧度表示).

三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.(本题满分12分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

17. (本题满分12分)已知数列{
}满足
=1，
=
，（1）计算
，
，
的值；（2）归纳推测
，并用数学归纳法证明你的推测．

18. (本题满分12分)盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求:

(1)取两次,两次都取得一等品的概率;

(2)取两次,第二次取得一等品的概率;

(3)取三次,第三次才取得一等品的概率;

(4)取两次,已知第二次取得一等品,求第一次取得是二等品的概率.

20. (本题满分13分)某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量
（件）之间近似满足关系：

（其中
为小于96的正整常数）

（注：次品率P=
，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量。

试将生产这种仪器每天的赢利T（元）表示为日产量
（件的函数）；

当日产量为多少时，可获得最大利润？

21. (本题满分13分)已知
．

(1) 求函数
在
上的最小值；

(2) 对一切
，
恒成立，求实数a的取值范围；

(3) 证明：对一切
，都有
成立．

长沙县实验中学2013年上期高二期中考试试卷

科目： 理科数学

时量：120 分钟 总分：150 命题人：袁拥军

一、选择题：（本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个正确的选项）

4.已知函数
在
上连续可导，则
等于 （ A ）

A．
B．
C．
D．

5.计算定积分
的值是（ A ）

A．
B．
C．
D．

6.根据下边给出的数塔猜测123456
9+8=（ C ）

1
9+2=11

12
9+3=111

123
9+4=1111

1234
9+5=11111

A .1111110 B. 1111111 C. 1111112 D. 1111113

7．若△ABC的三边之长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则△ABC的面积为
．根据类比思想可得：若四面体A-BCD的三个侧面与底面的面积分别为
，内切球的半径为r，则四面体的体积为（ A）

A.
B.
C.
D.

8．若
，则
等于( C )

A. 1 B.-1 C.10 D.0

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）

9．已知复数
，其中i是虚数单位，则
=
.

10．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 .30

11.在
的展开式中，含
的项的系数是 .-30

12．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有 种.（用数学作答）50

13.从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有______种.240

14．下图的数表满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角。

则第n行
第2个数是_________.

1

2 2

3 4 3

4 7 7 4

5 11 14 11 5

6 16 25 25 16 6

15.从正方体的各表面对角线中随机取两条.

(1)互相平行的直线共有_______对;

(2)这两条表面对角线所成角的度数的数学期望为_________(用弧度表示).

6,

三、解答题：本大题6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.(本题满分12分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

16.解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=
,

P(
)=P(A)P(
)P(
)=

（2）ξ的可能值为0,1,2,3,

P(ξ=k)=
(k=0,1,2,3)

所以中奖人数ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3



P











Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=

17. (本题满分12分)已知数列{
}满足
=1，
=
，（1）计算
，
，
的值；（2）归纳推测
，并用数学归纳法证明你的推测．

17．解：（1）∵a1=1，an+1=
，∴a2=
a3=
=
，a4=
=

（2）推测an=

证明：1°当n=1时，由（1）已知，推测成立。

2°假设当n=k时，推测成立，即ak=
则当n=k+1时，ak+1=
=
=
=
=

这说明，当n=k+1时，推测成立。

综上1°．2°，知对一切自然数n，均有an=

18. (本题满分12分)盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求:

(1)取两次,两次都取得一等品的概率;

(2)取两次,第二次取得一等品的概率;

(3)取三次,第三次才取得一等品的概率;

(4)取两次,已知第二次取得一等品,求第一次取得是二等品的概率.

18.解:
.

19. (本题满分13分)一个盒子装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：
，
，
，
，
，
.

(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．

19.解：(1)6张卡片中3奇3偶

记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”

(2)ξ可取1,2,3,4

当ξ的分布列为：

ξ

1

2

3

4



P













20. (本题满分13分)某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量
（件）之间近似满足关系：

（其中
为小于96的正整常数）

（注：次品率P=
，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量。

试将生产这种仪器每天的赢利T（元）表示为日产量
（件的函数）；

当日产量为多少时，可获得最大利润？

20. 解：（1）

；

（2）由（1）知显然只要考查
时的情况。

令
，则
得

且当
时，
，当
时，
，

所以当
时，当日产量为
时，利润最大；当
时，日产量为84时，利润最大。

21. (本题满分13分)已知
．

(1) 求函数
在
上的最小值；

(2) 对一切
，
恒成立，求实数a的取值范围；

(3) 证明：对一切
，都有
成立．

21.[解析]：

(1)
，当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增．

①
，t无解；

②
，即
时，
；

③
，即
时，
在
上单调递增，
；

所以
．

(2)
，则
，

设
，则
，
，
，
单调递减，
，
，
单调递增，所以
．　　　

因为对一切
，
恒成立，所以
．　　　

（3） 问题等价于证明
，由⑴可知
的

最小值是
，当且仅当
时取到．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设
，则
，易得
，当且仅当
时取到，从而对一切
，都有
成立．