长沙县实验中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学（文）试题

时量： 120 分钟 总分： 150 分

一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分）

1.已知全集
,集合
,
,则图中阴影部分所表示的集合（ ）

A．
B．
C．
D．

2.关于直线
，
及平面
，
，下列命题中正确的是（ ）

A．若
，
，则
； B．若
，
，则
；

C．若
，
，则
； D．若
，
，则
．

3．如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1
底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）

A．
B．4 C．
D．

4．设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则p是q的 ( )

A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

5.在下列区间中，函数
的零点所在的区间为（ ）

A.（
，
） B.（-
，0） C.（0，
） D.（
，
）

6．在区间
上任取两个实数
，则满足
的概率为( )

A．
B．
C．
D．

7.正方体
（ ）

A.30° B. 45° C. 60° D. 90°

8. 两圆
和
的位置关系是（ ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

9.已知函数
若存在
，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10.用分层抽样的方法从某学校的高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽取20人，高三年级抽取10人，又已知该校高二年级共有学生300人，则该校的高中学生的总人数为 。

11. 函数
，（
）所过定点为 。

12. 执行如图的程序框图,如果输入的n是4,则输出的p是 。

13．已知函数f(x)＝
　
，则不等式f(x)＞f(1)的解集是 　。

14. 函数
上为增函数，则实数
的取值范围是___ _ ．

15.已知函数

（1）若a>0,则f(x)的定义域是 ；

（2）若f(x)在区间（0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（12分）已知集合
，

.

（1）求
；

（2）若
，求
的取值范围。

17.（12分） 已知直线
.

(1)判断直线
与
是否能平行； (2)当
时，求a的值．

18.(12分)2013年春运期间，长沙火车站在某大学开设了一个服务窗口。假设每一位顾客办理业务所需时间都是整数分钟,对这1000名顾客办理业务所需时间统计结果如下：

办理业务所需时间（分钟）

1

2

3

4

5



人数

100

400

300

100

100



以记录的这1000名顾客办理业务所需时间的频率作为各所需时间发生的概率。

（1）求一位顾客办理业务时间不超过3分钟的概率；

（2）估计顾客办理业务所需时间的平均值。

19.（13分）如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
∥
，
，
⊥平面SAD，点
是
的中点，且
，
.

（1）求四棱锥
的体积；

（2）求证：
∥平面
；

（3）求直线
和平面
所成的角的正弦值.

20.（13分）已知圆C:x2-4x+y2+2y-3=0内有一点P（1,1），AB为过点P且倾斜角为
的弦。

（1）当
时，求AB的长度；

（2）求弦AB的最小值，并写出此时的直线方程。

21.(13分) 已知函数f(x)=
.

(1)若f(x)=2，求x的值；

(2)判断x>0时， f(x)的单调性；

(3)若
恒成立，求m的取值范围。

长沙县实验中学2013年上期高二期中考试试卷

科目： 文科数学（答案）

17.（12分）解：(1)由

由
…… （3分）

//

…………（5分）

∴当

//
，当
………（6分）

(2)由

故
……（12分）

18.(12分)解：（1）记A为事件“一位顾客办理业务时间不超过3分钟”，A1、A2、A3分别为表示事件“该顾客办理业务时间为1分钟”， “该顾客办理业务时间为2分钟”， “该顾客办理业务时间为,3分钟”，将频率视作概率有：

P（A1）=
，P（A2）=
，P（A3）=
，……………4分

故一位顾客办理业务时间不超过3分钟的概率为
。……………8分

（2）估计顾客办理业务所需时间的平均值为：

（分钟）。………12分

19.（13分）

解：∵
⊥底面
,
底面
,
底面

∴
⊥
,
⊥

∵
,
、
是平面
内的两条相交直线

∴ 侧棱
底面
………… 2分

在四棱锥
中，侧棱
底面
，底面
是直角梯形，
∥
，
⊥
，
，

∴
………… 4分

（2） 取
的中点
，连接
、
。

∵ 点
是
的中点 ∴
∥
且

∵ 底面
是直角梯形，
垂直于
和
，
，

∴
∥
且

∴
∥
且

∴ 四边形
是平行四边形　　　　　∴
∥

∵
，

∴
∥平面
……… 8分

（3）∵ 侧棱
底面
，
底面
　　　∴

∵
垂直于
，
、
是平面
内的两条相交直线

∴
，垂足是点

∴
是
在平面
内的射影，

∴
是直线
和平面
所成的角

∵ 在
中，
，
∴

∴

∴ 直线
和平面
所成的角的正弦值是
…… 13分

20.（13分）解：圆C：（x-2）2+(y+1)2=8,圆心C（2，-1），r=2
,…………2分

当
时，直线AB的斜率为-1，故直线AB的方程为：x+y-2=0.

此时圆心C到直线AB的距离为
,

故|AB|=
。………………7分

（2）由图可知CP⊥AB时，弦AB最短，而|CP|=
，故|AB|min=
，

此时直线CP的斜率为-2，所以直线AB的斜率为
，直线AB的方程为：x-2y+1=0……13分

21.(13分) 解：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，∴f(x)＝2无解．

当x>0时，f(x)＝3x－，令3x－＝2，∴(3x)2－2·3x－1＝0，∴3x＝1±.

∵3x>0，∴3x＝1－(舍)．∴3x＝1＋.∴x＝log3(1＋)．．．．．．．．．．．4分

(2)当x>0，f(x)＝3x－.∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减．

∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．．．．．．．．．．8分

(3)∵t∈[，1]，∴f(t)＝3t－>0，∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为3t(32t－)＋m(3t－)≥0.

即3t(3t＋)＋m≥0.即m≥－32t－1.

令g(t)＝－32t－1，则g(t)在[，1]上递减，∴g(x)max＝－4.

∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．．．．．．．．．13分