景德镇市2012-2013学年高二下学期期中质量检测数学（理）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：

1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效．

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上．

3．考试结束，只交答题卷．

第Ⅰ卷 (选择题共50分)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（ ）

A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角

C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

2.复数
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知函数
，则
（ ）

A.
B.
C．2
-3 D．

4.函数
的图象上一点
处的切线的斜率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.用数学归纳法证明
（
）时，从“
到
”左边需增乘的代数式为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.
的值为 （ ）

A. 6 B. 4 C. 3 D.2

7.已知二次函数
的图象如图所示,则它与
轴所围图形的面积为 （　　）

A．
B．

C．
D．

8.若函数
的导函数在区间
上是减函数，则函数
在区间
上的图象可能是（ ）

A. B. C. D.

9.已知函数
的图像与
轴恰有两个公共点,则
（　　 ）

A．
或2 B．
或3 C．
或1 D．
或1

10.设函数
在R上可导,其导函数为
,且函数

的图像如右图所示,则下列结论中一定成立的是（ ）

A．函数
有极大值
和极小值

B．函数
有极大值
和极小值

C．函数
有极大值
和极小值

D．函数
有极大值
和极小值

第Ⅱ卷 (非选择题共100分)

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把答案填在答题卷上）

11.已知复数
(i为虚数单位),则|z|=____.

12.曲线
在点
处的切线方程为___________________.

13.计算定积分
___________.

14.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第
个等式为 .

15.已知函数
给出下列命题：

（1）
是增函数，无极值；

（2）
是减函数，无极值；

（3）
的递增区间是
；

（4）
是极大值，
是极小值。

其中正确命题是 (注:把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.（本小题12分）设复数
满足
，且
(
是虚数单位)在复平面上对应的点在直线
上，求
.

17.（本小题12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心
的距离为多少时，帐篷的体积最大？

18.（本小题12分）已知数列
满足：
，

（Ⅰ）计算
的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.

19.（本小题12分）已知函数
(
),
.

(1)若曲线
与曲线
在它们的交点(1,
)处具有公共切线,求
的值;

(2)当
时,求函数
的单调区间,并求其在区间
上的最大值.

20.(本小题13分)设
其中
,曲线
在点
处的切线垂直于
轴.

(Ⅰ) 求
的值;

(Ⅱ) 求函数
的极值.

21、（本小题14分）设函数
在
处取得极值，且曲线
在点
处的切线垂直于直线
.

(Ⅰ) 求
的值；

（Ⅱ）求曲线
和直线
所围成的封闭图形的面积；

（Ⅲ）设函数
，若方程
有三个不相等的实根，求
的取值范围.

 2012-2013下学期高二数学理科期中考试参考答

=
，（单位：
）

帐篷的体积为：

求导得
。

令
，解得
（不合题意，舍去），
，

当
时，
，
为增函数；

当
时，
，
为减函数。

∴当
时，
最大。

答：当OO1为

时，帐篷的体积最大，最大体积为

.

18.解：(Ⅰ) 由
，当
时，

19.解:(1)由
为公共切点可得:
,则
,
,

,则
,
,

①

又
,
,

,即
,代入①式可得:
.

(2)

,
设

则
,令
,解得:
,
;

,

,

原函数在
单调递增,在
单调递减,在
上单调递增

①若
,即
时,最大值为
;

②若
,即
时,最大值为

③若
时,即
时,最大值为
.

综上所述:当
时,最大值为
;当
时,最大值为
.

20.解:(1)因
,故

由于曲线
在点
处的切线垂直于
轴,故该切线斜率为0,即
,

从而
,解得

(2)由(1)知
,

令
,解得
(因
不在定义域内,舍去),

当
时,
,故
在
上为减函数;

当
时,
,故
在
上为增函数;

故
在
处取得极小值
.

(Ⅲ)

令
，得到

根据
列表，得到函数的极值和单调性





















0







增

极大值

减

极小值

增




函数
的极大值为?
，函数?
的极小值为?
12分