康杰中学2012—2013学年度第二学期期中考试

高二数学（理）试题

2013.4

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知
为虚数单位，复数
，则复数的共轭复数的虚部为

A.
B.
C.
D.

2．质量m＝2 kg的物体作直线运动，运动距离 (单位：m)关于时间t(单位：s)的函数是s(t)＝3t2＋1，且物体的动能U＝
mv2，则物体运动后第3s时的动能为

A．18焦耳 B．361焦耳 C．342焦耳 D．324焦耳

3．在复平面内，O是原点，
，
，
表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，那么
表示的复数为

A．2＋8i B．2－3i C．－4＋4i D．4－4i

4．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图，则有

A．f '(x)＝g(x)

B．g'(x)＝f(x)

C．f '(x)＝g'(x)

D．g(x)＝ f(x)

5．下列表述正确的是

①归纳推理是由特殊到一般的推理；

②演绎推理是由一般到特殊的推理；

③类比推理是由特殊到一般的推理；

④分析法是一种间接证明法；

⑤若
，且
，则
的最小值是3

A．①②③④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②⑤

6．设，
，都是正实数，则三个数a＋
，b＋
，c＋
的值

A．都大于2 B．至少有一个不小于2

C．都小于2 D．至少有一个不大于2

7. 观察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，… 所得的结果都是24的倍数，由此推测可有

A．其中包含等式：152－1＝224 B．一般式是：(2n＋3)2－1＝4(n＋1)(n＋2)

C．其中包含等式1012－1＝10 200 D．24的倍数加1必是某一质数的完全平方

8. 给出命题：若a，b是正常数，且a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则
≥
(当且仅当
时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数f(x)＝
＋
(x∈
)的最小值及取最小值时的x值分别为

A．11＋6
，
B．25，
C．11＋6
，
D．25，

9．设函数
，则函数
各极小值点之和为

A．
B．
C．
D．

10. 一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有

A．
种 B．
种

C．
种 D．
种

11. 已知
都是定义在R上的函数，且满足以下条件：

①
为奇函数，
为偶函数； ②
；

③当
时，总有
.则
的解集为

A．
B．

C．
D．

12. 直线
与函数
的图像相切于点，与轴交于点，且
，
为坐标原点，为图像的最高点，过切点作轴的垂线，垂足为
，则
=

A．
B．
C．
D．

二?填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分．将答案填在题中横线上．）

13．函数
存在单调递减区间，则a的取值范围是

14．在数列
中，
，且
满足下表，则
=

1

2

3

4

5





5

4

2

1

3





15. 在我校春季运动会上，有甲、乙、丙、丁四位同学进行4×100接力赛跑，要求甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有 种接力赛跑方式。（用数字作答）

16．将边长为1的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，则
的最小值是

三、解答题：（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．(本小题满分10分) 设
，曲线
在
处的切线与直线x＝0垂直．

（1）求的值；

（2）求函数
的极值.

18．(本小题满分12分) 观察下列各等式(i为虚数单位)：

(cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3；

(cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8；

(cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11；

(cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12．

记f(x)＝cos x＋isin x．

(1)猜想出一个用
表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；

(2)根据(1)的结论推出f n(x)的表达式；

(3)利用上述结论计算：
.

19. (本小题满分12分)已知函数

（1）求
的单调区间；

（2）设
，若对
，均
，使得
，

求实数的取值范围.

20．(本小题满分12分) 若函数
在
上有两个零点.

21．(本小题满分12分) 已知函数
在点
的切线方程为

（1）求函数
的解析式；

（2）设
，求证：
在
上恒成立.

22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x＋log2
．

(1)计算
；

（2）设S(n)＝
，用数学归纳法证明：S(n)- S=
.

高二数学（理科）答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

D

C

A

D

B

C

B

A

D

A

C



二、填空题：

13. 14. 5 15. 14 16.

三、解答题：

17.解：(1)

因为f(x)在x＝1处的切线与直线x=0垂直，

所以
所以a＝-1．…… …………………..4分

(2)函数
的定义域为

，

令
得：
（舍去）

当
时，f '(x)＜0，
在
上是减函数；

当
时，f '(x)＞0，
在
上是增函数

所以，函数f(x)在x =1处有极小值3．………………………………………….10分

(注：若没有舍去
，而得函数
有极大值，扣去3分)

18. 解：(1)f(x)f(y)＝f(x＋y)．…………………………………………………..2分

证明：f(x)f(y)＝(cos x＋isin x)(cos y＋isin y)

＝(cos xcos y－sin xsin y)＋(sin xcos y＋cos xsin y)i

＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)

＝f(x＋y)．……………………………… …………………5分

(2)∵f(x)f(y)＝f(x＋y)，

．………………….8分

(3)

＝

＝i＋
＝2i．.......................................................................12分

19.解：（1）函数的定义域为
，

当
时，
，所以
在
上为增函数；

当
时，
是增函数；

是减函数。

综上所述：当
时，
在
上为增函数；

当
时，
增区间是
，减区间是
………6分

（2）对
，均
，要使
成立

对于
，
时，需使得
恒成立

由（1）知当
时，
在
上为增函数，
无最大值；

当
时，

又
在
单调递减，所以

所以
，则

所以，实数的取值范围是
……………………………………………12分

20. 解：
…………………………………………3分

①当
时，
对于
恒成立，即函数
在
上为增函数，所以不合题意；………………………………………………………………….5分

②当
时，令
，得
，

当
时，
，函数
为减函数，当
时，
，函数
为增函数，所以当
时，函数
（
取到最小值，

所以要使函数
在
上有两个零点，

则
，解得
………………………………9分

③当
时，
对于
恒成立，即函数
在
上为减函数，所以不满足题意。…………………………………………………………………………11分

综上可知：的取值范围是
…………………………………………… 12分

21．解：（1）当
时，由
得
，

又
，即
①

因为
，

所以
，②

由①②得：
………………………………… ……………….4分

（2）要证：
在
上恒成立

只要证：
在
上恒成立

即证：
在
上恒成立

设
，则

因为
，所以
，即

所以
在
上是增函数，则

所以
在
上恒成立…………………………………………12分

22.解： （1） 由定积分的性质得：

……2分

由于函数
与
在区间[1，2]上的图象关于直线
对称，

故根据定积分的几何意义知：

＝0，而
，则S＝
．…… ………6分

（2）用数学归纳法证明：S(n)- S=
， 即证：

①当
时，左边=
，右边=
，所以等式成立；

②假设
等式成立，即
成立，

那么当
时，左边=

这就是说，当
时，等式成立。

根据①②可知，等式对任意的
都成立。……………………………………12分