柳铁一中2012—2013学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

1．对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为
和
，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知
是两条不同直线，
是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A.
B.

C.
　D.

3．从10种不同的软件中选出6种放在6个不同的架子上展出，每个架子上只能放一种软件，且第1号架子上不能放甲或乙种软件，那么不同的放法共有（ 　）

A.
种　 B.
种　 C.
种　　 　D.
种

4．如图，在正方体
中，
．则点
到面
的距离是（ ）

A.
B.
C.
D.

5．从装有2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）

A.至少有1个黑球，至少有1个白球 B.恰有1个黑球，恰有2个白球

C.至少有1个黑球，都是黑球 　D.至少有1个黑球，都是白球

6．如图，在长方体
中，
，
，则异面直线
与
所成的角为 （ ）

A.
B.

C.
　 D.

7．将4本不同的书全发给3名同学，则每名同学至少有一本书的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若
则
（ ）

A.
　　　B.
　　　　C.
　　　　　D.

9．在
展开式中，含
的项的系数是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．一个球面上有三个点
、
、
，若
，
，球心到平面
的距离为1，则球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
　 D.

11．设
为奇数，那么
除以13的余数是（ ）

A.
B.
C.

D.

12．用6种颜色给右图四面体
的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种。

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有 （用数字回答）。

14．已知
的展开式中，
的系数是240，则实数
的值为_______________。

15．从6名男同学，5名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 __________。

16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角
，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②
是等边三角形；③
与
所成的角为
；④
与平面
成
的角。其中正确的结论的序号是
．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

17．在
的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35。

（1）求
的值； （2）求展开式中的常数项。

18．甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为
，乙队获胜的概率为
，且每局比赛的胜负是相互独立的，问：

（1）甲队以
获胜的概率是多少？

（2）乙队获胜的概率是多少？

19.若
的展开式中只有第10项的二项式系数最大，

（1）求展开式中系数最大的项；

（2）设
，求
．

20．如图所示，
是正三角形，
和
都垂直于平面
，且
，
是
的中点.求证：

（1）
平面
；

（2）
.

21．袋子
和
中装有若干个均匀的红球和白球，从
中摸出一个红球的概率是
，从
中摸出一个红球的概率为
．

（1）从
中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸4次．

①恰好有2次摸到红球的概率；②第一次、第三次摸到红球的概率．

（2）若
、
两个袋子中的球数之比为4，将
、
中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
，求
的值

22．如图，在三棱锥
中，
，
，
，点
、
、
分别为
、
、
的中点.

（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）求二面角
的大小.

高二数学下学期月考答案

18．解：（1）设甲队以
获胜的概率为
，则

（2）设乙队获胜的概率
，则

21．解：（1）①
②

（2）设B袋子有
个球，则A袋子有
个球。依题意得

22．解：（法一）（1）连接
，与
的交点为
，在
中,
.

,点
为
的中点，
.又
面
，则
.

则
面
，而
∥
，则
面
,

为直线
与平面
所成的角,
面
，
,
.

又
，
.

,
,

在
中，
,

直线与平面所成角的正弦值为
……………………………………………6分

(法二)建立间直角坐标系如图，则
,
,
,
,

,

由已知可得，
=
为平面
的法向量
=
,

.

直线
与面
所成角的正弦值为
.…………………………………6分

（2）设平面
的法向量为
，
,

，
，令
，

由已知可得，向量
为平面
的一个法向量,

二面角
为
.……………………………………12分