康杰中学2012—2013学年度第二学期期中考试

高二数学（文）试题

2013.4

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知
为虚数单位，复数
，则复数的共轭复数的虚部为

A. B.
C.
D.

2. 如图是选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“分析法”，则应该放在图

A．“①”处 B．“②”处 C．“③”处 D．“④”处

3. 实数的乘法运算与向量的数量积运算类比，不成立的运算律是

A．a×b＝b×a类比

B．a×(b×c)＝(a×b)×c类比

C．a2＝|a|2类比

D．
类比

4. 若
为非零实数，且
，则下列命题成立的是

A．
B．
C．
D．

5. 在复平面内，O是原点，
，
，
表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，那么
表示的复数为

A．2＋8i B．2－3i C．4－4i D．－4＋4i

6. 在数列
中，
，且
满足下表，则
=

1

2

3

4

5





5

4

2

1

3





A． B． C．
D．

7. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数
中恰有一个偶数”正确的反设为

A．
中至少有两个偶数或都是奇数 B．
都是奇数

C．
中至少有两个偶数 D．
都是偶数

8. 已知直角三角形的周长为定值
，则它的面积的最大值为

A．
B．
C．
D．

9. 在复平面内，复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

10. 定义某种运算
，运算原理如流程图所示，则式子
的值为

A．4 B．6 C．8 D．10

11. 若
，则函数
有

A．最大值-3 B．最大值3 C．最小值3 D．最小值-3

12. 给出命题：若a，b是正常数，且a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则
≥
(当且仅当
时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数f(x)＝
＋
(x∈
)的最小值及取最小值时的x值分别为

A．11＋6
，
B．25，
C．11＋6
，
D． 5，

二?填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分．将答案填在题中横线上．）

13. 以模型
去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设
，其变换后得到线性回归方程
，则=

14. 某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用的时间依次为2，5，X，4 天。四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工。若完成该工程共需9天，完成工序C需要的天数最多是 .

15. 若复数
的模为
，则实数a的值是 ．

16. 椭圆的中心在坐标系原点，为左焦点，为右顶点，为上顶点，当
时，其离心率为
，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率为

三、解答题：（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本题满分10分）在调查某地区电视观众对某类体育节目收视情况时，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”， 随机对100名观众进行调查，其中“体育迷” 的男人有15人，“体育迷” 的女人有10人，“非体育迷” 的男人有30人，“非体育迷” 的女人有45人。

（1）根据以上数据建立2×2的列联表；

（2）据此资料你是否有95%把握认为“体育迷”与性别有关？

参考公式：

参考数据：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





18.（本题满分12分）关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（单位：万元），有如下统计资料

x

2

3

4

5

6



y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



由资料可知y与x有线性相关关系，试求：

该线性回归方程；

估计使用年限为10年时，维修费用是多少万元？

参考数据：

参考公式：
，

19. （本题满分12分）已知
是不全相等的正数，且
，

求证：
.

20.（本题满分12分）已知关于的方程
，其中
为实数。

（1）若
是该方程的根，求
的值；

（2）当
且
时，证明：该方程没有实数根。

21．（本题满分12分）《选修4-5：不等式选讲》

已知

（1）解不等式
；

（2）若关于的不等式
有解，求实数的取值范围。

22.（本题满分12分）观察下列各等式(i为虚数单位)：

(cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3；

(cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8；

(cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11；

(cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12．

记f(x)＝cos x＋isin x．

(1)猜想出一个用
表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性；

(2)根据(1)的结论推出f n(x)的表达式；

(3)利用上述结论计算：

高二数学（文科）答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

C

B

C

D

C

A

D

B

C

A

B



二、填空题：

13. 14. 3 15. 16.

三、解答题：

17.解：（1）2×2列联表如下：

非体育迷

体育迷

合计



男

30

15

45



女

45

10

55



合计

75

25

100



 ………………………………………………………..5分

(2)假设是否晕机与性别无关，则
的观测值

所以
，我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关……………10分

18. 解：(1)
＝＝1.23．

＝5－1.23×4＝0.08．回归直线方程为
＝1.23 x＋0.08．……………8分

(2)当
时，
＝1.23×10＋0.08＝12.38万元，即估计用10年时，维修费约为

12.38万元．…………………… …………………… ….12分

19．要证明

只需证

因为已知

所以只需证
…………………………………………...6分

因为

而
是不全相等的正数，将上述三式相乘，得

即
成立

所以
成立

……………………………….12分

20.解：（1）将
代入
，化简得

所以
所以
……………………… …………6分

（2）证明：原方程化为

假设原方程有实数解，那么
即

因为
，所以
，这与题设
矛盾

所以假设错误，原方程有实数根正确。…………………………………………...12分

21.解：（1）原不等式可化为

或
或

即
或
或

所以原不等式解集为
………………………………………6分

（2）关于的不等式
有解
关于的不等式
有解，

即

又

当
时，
；当
时，
；当
时，

所以
，即
所以
，

即
，则
，所以
………………………………12分

22. (1)f(x)f(y)＝f(x＋y)．………………………………………………………………...2分

证明：f(x)f(y)＝(cos x＋isin x)(cos y＋isin y)

＝(cos xcos y－sin xsin y)＋(sin xcos y＋cos xsin y)i

＝cos(x＋y)＋isin(x＋y)

＝f(x＋y)．……………………………………………………………5分

(2)∵f(x)f(y)＝f(x＋y)，

．…… ……….8分

(3)

＝

＝i＋
＝2i．........................................ .................12分