成都市六校协作体高2011级第四学期期中试题

数 学（理科）

【注意事项】本试卷分选择题10道，每小题5分；填空题5道，每小题5分；解答题6道，全卷共150分，考试时间120分钟。请将正确答案填写在相应的答卷位置上，不得修改题号，否则答案无效，保持卷面整洁。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）

1．命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是

A．若α≠
,则tanα≠1 B．若α=
,则tanα≠1

C．若tanα≠1,则α≠
D．若tanα≠1,则α=

2．已知曲线
在点
处的切线经过点
，则
的值为

A.
B. C. D.

3．已知命题p： x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)≥0,则p是

A． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0 B． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

C． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)<0 D． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

4 . 以双曲线
的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程是

A．
B．

C．
D．

5．设
均为直线,其中
在平面内，则
是
且
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )

A．
B.
C.
D.

7．已知函数f(x)＝x2＋2x＋blnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数b的取值范围是

A．b≥ 0 B．b<－4 C．b≥0或b≤－4 D．b>0或b<－4

8．抛物线
的焦点为，点为抛物线上的动点，点
为其准线上的动点，当
为等边三角形时，其面积为

A.
B. 4 C. 6 D.

9.已知
是定义在
上的非负可导函数，且满足
，对任意正数
，若
，则
的大小关系为

A.
B.
C.
D.

10．已知抛物线
上一定点B(-1,0)和两个动点
，当
时，点
的横坐标的取值范围是

A．
∪
B.
C.
D.（－∞,－3]∪

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为_____________

12．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在x∈上的值域为 _____________

13．在直角坐标系
中，点与点
关于原点
对称．点
在抛物线
上，且直线
与
的斜率之积等于－，则
_____________

14．已知下列几个命题： ①已知F1、F2为两定点，
=4，动点M满足
，则动点M的轨迹是椭圆。 ②一个焦点为
且与双曲线
有相同的渐近线的双曲线标准方程是
③“若=b，则a2=ab”的否命题。④若一个动圆的圆心在抛物线
上，且动圆恒与直线
相切，则动圆必过定点
。

其中真命题有____________

15． 过点
的直线
与抛物线
交于
两点，记线段
的中点为，过点和这个抛物线的焦点的直线为
,
的斜率为
，则直线
的斜率与直线
的斜率之比可表示为
的函数
__　　　．

三．解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。)

16. （ 本小题满分12分）

已知焦距为的双曲线的焦点在x轴上，且过点P
.

（Ⅰ）求该双曲线方程 ；

（Ⅱ）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长.

17.（本小题满分12分）

设命题：
，命题
：
；

如果“或
”为真，“且
”为假，求的取值范围。

18. （本小题满分12分）

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y=
+10(x-6)2，（其中3

(I）求的值；

(II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

19.（本小题满分12分）

如图，四边形
与
都是边长为的正方形，点E是
的中点，

求证：
；

求证：平面
；

求体积
与
的比值。

20. (本小题满分13分)

已知函数
,
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，函数
在
上的最大值为
，若存在
，使得

成立，求实数b的取值范围.

21．（本小题满分14分）

如图，椭圆
的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线
经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为
．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）设线段
的中点为
，
的中垂线与轴和轴分别交于
两点,

记△
的面积为
，△
（
为原点）的面积为
，求
的取值范围．

成都市六校协作体高2011级第四学期期中试题

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

B

C

D

A

C

C

D

A

D



二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 24 ； 12.
； 13. －1； 14.②④ ；15.

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）

16. 解：(1)设双曲线方程为
（a,b＞0）

左右焦点F1、F2的坐标分别为（-2，0）（2，0）…………………………….........1分

则|PF1|－|PF2|=2=2，所以=1，………………………………..............................,3分

又c=2,b=
……………………………………………………………………………5分

所以方程为
……………………………………………………………. 6分

（2）直线m方程为y=x－2………………………………………………………………7分

联立双曲线及直线方程消y得2 x2 +4x-7=0 …………………………… 9分

设两交点
，
x1+x2=-2, x1x2=-3.5……………………10分

由弦长公式得|AB|=6……………………………………………………… ………………..12分

17解：P真:a<-1……………………………………………………………………………....2分

Q真:a≥1或a≤－2…………………………………………………………………...4分

依题意得P，Q一真一假………………………………………………………….…5分

当 P真Q假时
-2＜a<－1……………………………………………...8分

同理,当 Q真P假时a≥1………………………………………………………………11分

综上所述的取值范围为-2

18. （I）因为x=5时，y=11，所以
……………………（4分）

(II）由（I）可知，该商品每日的销售量

所以商场每日销售该商品所获得的利润

从而，
……（8分）

于是，当x变化时，
的变化情况如下表：

由上表可得，x=4是函数
在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；……（11分）

所以，当x=4时，函数
取得最大值，且最大值等于42。………（12）分

19. 证明：（1）设BD交AC于M，连结ME.

∵ABCD为正方形，所以M为AC中点，

又∵E为
的中点 ∴ME为
的中位线

∴
又∵

∴
. …………………4分

（2）∵ABCD为正方形 ∴

∵
.

又

∵
∴
. …………………8分

（3）
（要有计算过程） …………………12分

20（Ⅰ）当
时，

……………………1分

……………………………………….…2分

所以曲线
在点
处的切线方程
…………………………….…3分

（Ⅱ）
……………4分

当
时，解
，得
，解
，得

所以函数
的递增区间为
，递减区间为在
……………………5分

时，令
得
或

i）当
时，

x


)











f’(x)

+



-



+



f(x)

增



减



增





……………………6分

函数
的递增区间为
，
，递减区间为
……………………7分

ii）当
时，

在
上
，在
上
………………………8分

函数
的递增区间为
，递减区间为
………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
在
上是增函数，在
上是减函数，

所以
， ………………………………11分

存在
，使
即存在
，使
，

方法一：只需函数
在[1，2]上的最大值大于等于

所以有
即
解得：
…………13分

方法二：将
整理得

从而有
所以
的取值范围是
. …………..13分

21（Ⅰ）解：依题意，当直线
经过椭圆的顶点
时，其倾斜角为
………1分

则
． …………2分

将
代入
，

解得
． ………3分

所以椭圆的离心率为
． …………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为
． …………5分

设
，
．

依题意，直线
不能与
轴垂直，故设直线
的方程为
，将其代入

得
． …………7分

则
，
，

． ………………8分

因为
，

所以