江苏省无锡一中2012-2013学年高二下学期期中考试数学文试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把结果直接填在题中的横线上）

1．命题“
，
”的否定是_____________________________．

2．已知复数
满足
（
为虚数单位），则复数
的虚部为______________．

3．“
”是“
”的__________________条件．

4．已知
，且
，则实数
等于______________．

5．函数
的定义域为_______________．

6．已知三个数
，
，
，则
从小到大的顺序为___________．

7．函数
的值域为___________________．

8．已知定义在
上的奇函数
在
上单调递增，且
，则不等式
的解集为______________________．

9．已知复数
满足
，则
的最大值是_______________．

10．对于函数
，在使
≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数
的“下确界”，则函数
的下确界为_______________．

11．若函数
有四个不同的零点，则实数
的取值范围是_______________．

12．函数
的定义域为
，若
且
时总有
，则称
为单函数．例如，函数
是单函数．下列命题：

①若函数
是
，则
一定是单函数；

②若
为单函数，
且
，则
；

③若定义在
上的函数
在某区间上具有单调性，则
一定是单函数；

④若函数
是周期函数，则
一定不是单函数；

⑤若函数
是奇函数，则
一定是单函数．

其中的真命题的序号是_______________．

13．定义在
上的函数
满足
，则
的值为_______________．

14．已知
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围是 ．

二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知集合
，集合
，集合
．

（Ⅰ）设全集
，求
； （Ⅱ）若
，求实数
的取值范围．

16．（本题满分14分）

设命题p：函数
的定义域为R；命题q：不等式
对任意
恒成立．

（Ⅰ）如果p是真命题，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数
的取值范围．

17．（本题满分14分）

已知定义域为
的函数
是奇函数．

（Ⅰ）求实数
的值； （Ⅱ）解关于
的不等式
．

18．（本题满分16分）

为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量
万件与投入技术改革费用
万元（
）满足
（
为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定收入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的
倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

（Ⅰ）试确定的
值，并将2013年该产品的利润
万元表示为技术改革费用
万元的函数（利润=销售金额―生产成本―技术改革费用）；

（Ⅱ）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

19．（本题满分16分）

已知椭圆具有性质：若
是椭圆
：
且
为常数
上关于原点对称的两点，点
是椭圆上的任意一点，若直线
和
的斜率都存在，并分别记为
，
，那么
与
之积是与点
位置无关的定值
．

试对双曲线
且
为常数
写出类似的性质，并加以证明．

20．（本题满分16分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）解方程：
；

（Ⅱ）设
，求函数
在区间
上的最大值
的表达式；

（Ⅲ）若
，
，求
的最大值．

参考答案

1．
，
；2．
；3．必要不充分；4．
；5．
；

6．
；7．
；8．
；9．
；10．
；

11．
；12．②④；13．
；14．
；

15．（本题满分14分）

已知集合
，集合
，集合
．

（Ⅰ）设全集
，求
； （Ⅱ）若
，求实数
的取值范围．

解：（Ⅰ）
，

，

，

．

（Ⅱ）∵
，∴
，

当
时，
，

当
时，
或
，解得：
，

综上：实数
的取值范围是
或
．

16．（本题满分14分）

设命题p：函数
的定义域为R；命题q：不等式
对任意
恒成立．

（Ⅰ）如果p是真命题，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数
的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意：
对任意
恒成立，

当
时，不符题意，舍去，

当
时，
，

所以实数
的取值范围是
．

（Ⅱ）设
，
，

，当
为真命题时，有
，

∵命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，∴
与
一个为真，一个为假，

当
真
假，则
，无解，

当
假
真，则
，

综上，实数
的取值范围是
．

17．（本题满分14分）

已知定义域为
的函数
是奇函数．

（Ⅰ）求实数
的值； （Ⅱ）解关于
的不等式
．

解：（Ⅰ）由
得：
，

所以
，

解得：
或
（舍去），

因此
．

（Ⅱ）∵
，

∴函数
在
上单调递减，

由
得：
，

所以
，

解得：
，

所以原不等式的解集为
．

18．（本题满分16分）

为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量
万件与投入技术改革费用
万元（
）满足
（
为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定收入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的
倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）．

（Ⅰ）试确定的
值，并将2013年该产品的利润
万元表示为技术改革费用
万元的函数（利润=销售金额―生产成本―技术改革费用）；

（Ⅱ）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

解：（Ⅰ）由题意知，当
时，
，所以
，

所以
，

．

（Ⅱ）∵
，∴
，

当且仅当
，即
时，上式取等号，

所以，该企业2013年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．

19．（本题满分16分）

已知椭圆具有性质：若
是椭圆
：
且
为常数
上关于原点对称的两点，点
是椭圆上的任意一点，若直线
和
的斜率都存在，并分别记为
，
，那么
与
之积是与点
位置无关的定值
．

试对双曲线
且
为常数
写出类似的性质，并加以证明．

解：双曲线类似的性质为：若
是双曲线
且
为常数
上关于原点对称的两点，点
是双曲线上的任意一点，若直线
和
的斜率都存在，并分别记为
，
，那么
与
之积是与点
位置无关的定值
．

证明：设
，
，则
，

且
①，
②，

两式相减得：
，

所以
是与点
位置无关的定值．

20．（本题满分16分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）解方程：
；

（Ⅱ）设
，求函数
在区间
上的最大值
的表达式；

（Ⅲ）若
，
，求
的最大值．

解：（Ⅰ）
，

或
（舍去），

所以
．

（Ⅱ）
，
，

令
，则
，

①当
时，
，

②当
时，
，

若
，则
，

若
，当
，即
时，
，

当
，即
时，
，

当
，即
时，
，

综上，
．

（Ⅲ）由题意知：


，

所以
，

其中
，所以
，

由
知
的最大值是
，又
单调递增，

所以
．