成都市六校协作体高2011级第四学期期中试题

数 学（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）

1．命题“若α=
,则tanα=1”的逆否命题是（　　）

A．若α≠
,则tanα≠1 B．若α=
,则tanα≠1

C．若tanα≠1,则α≠
D．若tanα≠1,则α=

2. 曲线
在
处的切线平行于直线
,则
点的坐标为（ ）

A．( 1 , 0 ) B． ( 1 , 0 )或(－1, －4)

C． ( 2 , 8 ) D．( 2 , 8 )或 (－1, －4)

3．已知命题p： x1，x2R，(f(x2) f(x1)(x2x1)≥0，则p是( )

A． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0 B． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

C． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)<0 D． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

4. 以双曲线
的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（　　 ）

A．
B．
C．
D．

5．“x<1”是“x<2”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 抛物线
的焦点为，点为抛物线上的动点，点
为其准线上的动点，当
为等边三角形时，其面积为 （ ）

A.
B. 4 C. 6 D.

7. 设函数
在上可导，其导函数
，且函数
在
处取得极小值，则函数
的图象可能是（ ）

8 .已知双曲线
的左右焦点分别是F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的的两条渐近线于点P，Q。若点P是线段F1Q的中点，且F1Q⊥F2Q，则此双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．2 C．
D．

9. 已知
是定义在R上的偶函数且它图象是一条连续不断的曲线，当
时，
，若
，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
是定义在
上的非负可导函数，且满足
，对任意正数
，若
，则
的大小关系为( )

A.
B.

C.
D.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。)

11. 椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为_____________

12．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在x∈上的值域为 _____________

13. 若a>0,b>0,且函数f（x）=
在x=1处有极值，则ab的最大值等于________

14. 已知下列几个命题：①已知F1，F2为两定点，
=4，动点M满足
，则动点M的轨迹是椭圆。 ②双曲线C：x2-y2=2013的离心率为
③抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a=-4。④若函数
是R上的单调函数，则实数m的取值范围是[1，﹢∞﹚。其中真命题有____________

15. 过点
的直线
与抛物线
交于
两点，记线段
的中点为，

过点和这个抛物线的焦点的直线为
,
的斜率为
，则直线
的斜率与直线
的斜率之比可表示为
的函数
__　　　．

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16. （本小题满分12分）

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
, 且过点
.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设点
，若是椭圆上的动点，求线段
的中点
的轨迹方程.

17．（ 本小题满分12分）

设命题：
，命题
：
；如果“或
”为真，“且
”为假，求的取值范围。

18. （本小题满分12分）

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=
+10(x-6)2，其中3

（1）求的值；

（2）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出此最大值。

19．（本小题满分12分）

如图，四边形
与
都是边长为的正方形,点E是
的中点，

求证：
；

求证：平面

20.（本小题满分13分）

已知函数
,
.

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，求函数
的单调区间；

（3）当
时，函数
在
上的最大值为
，若存在
，使得
成立，求实数b的取值范围.

21. (本小题满分14分)

已知A，B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.

（1）求证：⊥；

（2）设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.

①求证：点N在一条定直线上；

②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

成都市六校协作高2011级第四学期期中考试

数 学（文科）答案

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



C

B

C

D

A

A

C

B

C

D



二、填空题：

11. 24 ； 12.
； 13.9； 14.②④ ; 15.

三、解答题：

16. 解：(1)由已知得椭圆的半长轴
，……………………（1分）

半焦距
……………………………………（2分），

则半短轴
. ……………………………………（4分）

又椭圆的焦点在轴上, ∴椭圆的标准方程为
. ………………(6分)

(2)设线段
的中点为
,点的坐标是
，

由
，得
， ……………………（10分）

由点在椭圆上,得
,

∴线段
中点
的轨迹方程是
……………………（12分）

17. P真：(=4+4a<0, a<-1 ………………………….(2分)

Q真: (=4a2—4(2-a) ≤0, a≤－2或a≥1……………………………(.4分)

依题意得P，Q一真一假…………………………………………………5分

当 P真Q假:
-2

当 P假Q真：
a≥1…………….（11分）

综上：a取值范围为－2

18. （I）因为x=5时，y=11，所以
……………（4分）

(II）由（I）可知，该商品每日的销售量

所以商场每日销售该商品所获得的利润

从而，
……（8分）

于是，当x变化时，
的变化情况如下表：

由上表可得，x=4是函数
在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；……（11分）

所以，当x=4时，函数
取得最大值，且最大值等于42。………（12分）

19. 证明：（1）设BD交AC于M，连结ME.

∵ABCD为正方形，所以M为AC中点，

又∵E为
的中点 ∴ME为
的中位线

∴
又∵

∴
. …………………（6分）

（2）∵ABCD为正方形 ∴

∵
.

又

∵
∴
. …………………（12分）

20. （Ⅰ）当
时，

…………………（1分）

……………………………….…（2分）

所以曲线
在点
处的切线方程
……………….…（3分）

（Ⅱ）
………（4分）

当
时，

解
，得
，解
，得

所以函数
的递增区间为
，递减区间为在
…………………（5分）

时，令
得
或

i）当
时，

x













f’(x)

+



-



+



f(x)

增



减



增





……………（6分）

函数
的递增区间为
，
，递减区间为
………………（7分）

ii）当
时，

在
上
，在
上
…………………（8分）

函数
的递增区间为
，递减区间为
…………………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
在
上是增函数，在
上是减函数，

所以
， …………………（11分）

存在
，使

即存在
，使
，

方法一：只需函数
在[1，2]上的最大值大于等于

所以有

即
解得：
……………………………………（13分）

方法二：将

整理得

从而有

所以
的取值范围是
. ……………………………………（13分）

21. 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

lAB：y＝kx＋4与x2＝4y联立得x2－4kx－16＝0，

Δ＝(－4k)2－4(－16)＝16k2＋64>0，

x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，

(1)证明：∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)

＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16

＝(1＋k2)(－16)＋4k(4k)＋16＝0

∴⊥. ………………（4分）

(2)(ⅰ)证明：过点A的切线：

y＝x1(x－x1)＋y1＝x1x－x12，　　①

过点B的切线：y＝x2x－x22，　　②

联立①②得点N(，－4)，所以点N在定直线y＝－4上．……（8分）

(ⅱ)∵＝λ，

∴(x1，y1－4)＝λ(－x2,4－y2)，

联立x1＝－λx2，x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，

可得k2＝＝＝λ＋－2,4≤λ≤9， ∴≤k2≤.

直线MN：y＝x＋4在x轴上的截距为k.

∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[－，－]∪[，]． …………（14分）