山西大学附中

2012～2013学年第二学期高二期中考试

数学试题（理科）

（考试时间：90分钟 满分150分 ）

一、选择题（每题5分）

1 ．复数
的值是（ ）

A．2 B．
C． D．

2．
的展开式中
的系数是（ ）

A 20 B 160 C 240 D 60

3．下面几种推理过程是演绎推理的是 (　　)

A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人

C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

D．在数列
中，
，
，由此归纳出
的通项公式

4．曲线
与直线
所围成的图形面积是(　　)

A．
B．
C.
D．

5．设
是可导函数，且
（ ）

A．
　　　　B．－1 　　　　　C．0 　　　　　D．－2

6． 从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（ ） A．36 B．30 C．24 D．12

7．如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为(　　)

8．已知
，则
的值为（ ）

A -1 B 1 C 2 D

9. 设函数
，
. 若当
时，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（ ）.

A.
B.
C.
D.

10．已知f(x)是偶函数，当.x∈[0，
]时，f(x)=xsinx,若a =f(cos1)，b =f(cos2) ,

c =f(cos3)，则 a，b，c 的大小关系为（ ）

A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. b < c < a

11．已知
在
处取最大值，以下各式正确的序号为（ ）

①
②
③
④
⑤

A．①④ B．②⑤ C．②④ D．③⑤

12. 设函数
在上有定义.对于给定的正数,定义函数
,取函数
.若对于任意的
恒有
,则 ( )

A.的最小值为
B.的最大值为
C.的最小值为2 D.的最大值为2

二、填空题（每题6分）

13．设函数
,若
,则
.

14．已知
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
，则展开式中常数项是______ ．

15．在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5, 4,2中，3，2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2为逆序，逆序数是4.现有从1?101 这101个自然数的排列:1，3，5，7，…,99 ,101 ,100, 98，…,6,4,2 ,则此排列的逆序数是______ .

16.已知函数
，则下列命题正确的是______ .

①
②
； ③
；

④
； ⑤

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2012～2013学年第二学期高二期中考试

数学试题答卷纸（理科）

（考试时间：90分钟 满分150分 命题人：张耀军）

选择题 （每小题5分， 共60 分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案





























二、填空题（每题 6分， 共 24 分）

13. 14.

15. 16.

三、解答题 （共66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分)

（1）计算
（6分）

（2）已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i， z2=a－2－i， 其中i为虚数单位，a∈R，

若
<|z1|，求a的取值范围.（6分）

18．(本小题满分12分)

在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。

（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；

（Ⅱ ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列。

19．(本小题满分12分)

已知数列{
}满足
+
=2n+1

（1）求出
，
，
的值；

（2）由（1）猜想出数列{
}的通项公式
；并用数学归纳法证明。

20．(本小题满分14分)

已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间和极值；

（Ⅱ）若
在区间
上是单调递减函数，求实数的取值范围.

21. (本小题满分16分)

已知函数
，且
在
处的切线方程为

（1）求
的解析式；

（2）证明：当
时，恒有

（3）证明：若
且
则

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2012～2013学年第二学期高二期中考试

数学试题参考答案（理科）

（考试时间：90分钟 满分150分 ）

一、选择题（每题5分）

1、D 2、B 3、A 4、 A 5、 B 6、C

7、 A 8 、A 9 、A 10、B 11、B 12、A

二、填空题（每题6分）

13、 3 14、 45

15、 2500 16、 ④⑤

三、解答题

17、（满分12分）

解：（1）

………………6分

（2）解：由题意得 z1=
=2+3i，

于是
=
=
，
=
.

<
，

得a2－8a+7<0，1

18、（满分12分）

解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ………………………………1分

则P（A）=
，

答：甲和乙都不获奖的概率为
. ……………………………………5分

（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………6分

P(X=0)=
, P(X=400)=
, P(X=600)=
,

P(X=1000)=
, …………………………………………10分

∴X的分布列为

X

0

400

600

1000



P











 ……12分

19、（满分12分）

解：（1）
=
，
=
，
=
…………… 3分

（2）猜想
=
（n
）…………5分

证明：（1）当n=1时，显然成立

（2） 假设n=k（k
）时成立，即
=
，……………7分

则当n=k+1时，由

得

化简得

即当n=k+1时亦成立

所以
=
即对
成立。……………12分

20、（满分14分）

解（Ⅰ）函数
的定义域为（0，+∞）. ………………1分

当
时，
……………………3分

当变化时，
的变化情况如下：











-

0

+







极小值







21、（满分16分）

解（1）
,切线斜率
，

在
处的切线方程为
,即
(4分)

（2）令

当
时，
;
时，

故
即
.（10分）

（3）先求
在
处的切线方程，由(1)知
,