山西大学附中2012-2013高二下学期期中考试

数学试题(文科)

考试时间：90分钟　　考查内容：1-2,导数,　4-5　

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a>b>c，则下列各式中正确的是 （ ）

A　ac2>bc2 B　ab>bc 　 C　2a>2b>2c 　 D　

2．已知不等式（
）（
）9对任意正实数
恒成立，则正实数a的最小值为

A. 2 B. 4 C. 6 D.8

3.设
，i是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 不等式log3|x－
|<－1的解集是 （ ）

A　(0,
) B　(
,＋∞) C　(0,
)∪(
,
) 　D　(
, ＋∞)

5.不等式
总有解时，的取值范围是 （ ）

A.＞1 B.
＜＜1 C.0＜≤1 D. 0＜＜

6. 设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是 （ ）

A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P

7.已知
，且
，则下列不等式①
②

③
④
，其中一定成立的不等式的序号是 （ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

8．设
是定义在正整数集上的函数，且
满足：“当
成立时，总可推出

成立”． 那么，下列命题总成立的是 （ 　）

Ａ．若
成立，则
成立

Ｂ．若
成立，则
成立

Ｃ．若
成立，则当
时，均有
成立

Ｄ．若
成立，则当
时，均有
成立

9.若a是1+2b与1-2b的等比中项，则
的最大值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

10.不等式
的解集是 （ ）

A　
　B　

C　
　D　

11.已知函数
在
处取得极值，若
,则
的最小值是 （ ）

A． -13 B.-15 C.10 D.15

12.设
，且满足
对任意正实数，下面不等式恒成立的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，满分24分；把正确的答案写在题中的横线上。

13. 复数
的虚部为________.

14.若不等式
，对满足
的一切实数、、恒成立，则实数的取值范围是 ．

15．已知|x+1| + |
x–1|≥a的解集为R，则实数a的最大值　　　．

16．
的最小值为 ．

三、解答题：本大题5个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）

已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b，c∈R，且

18. （本小题满分12分）

(1)求证：

(2)已知：
，
,证明：

19. （本小题满分14分）

用数学归纳法证明，若f(n)=1+
+
+…+
,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).

20. （本小题满分14分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°

（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

21. （本小题满分14分）

已知函数

当
时，求函数
在
上的最小值；

若
存在单调递减区间，求的取值范围.

山西大学附中2012-2013高二下学期期中考试

数学试题(文科)答案

考试时间：90分钟　　考查内容：1-2,导数,　4-5　

一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a>b>c，则下列各式中正确的是 （ C ）

A　ac2>bc2 B　ab>bc 　C　2a>2b>2c 　D　

2．已知不等式（
）（
）9对任意正实数
恒成立，则正实数a的最小值为 ( B )

A. 2 B. 4 C. 6 D.8

3.设
，i是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚数”的 （ B ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 不等式log3|x－
|<－1的解集是 （C ）

A　(0,
) B　(
,＋∞) C　(0,
)∪(
,
) 　D　(
, ＋∞)

5.不等式
总有解时，的取值范围是 （ A）

A.＞1 B.
＜＜1 C.0＜≤1 D. 0＜＜

6. 设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，则P、Q之间的大小关系是 （A ）

A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P

7.已知
，且
，则下列不等式①
②

③
④
，其中一定成立的不等式的序号是 （ C ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

8．设
是定义在正整数集上的函数，且
满足：“当
成立时，总可推出

成立”． 那么，下列命题总成立的是 （　D　）

Ａ．若
成立，则
成立

Ｂ．若
成立，则
成立

Ｃ．若
成立，则当
时，均有
成立

Ｄ．若
成立，则当
时，均有
成立

9.若a是1+2b与1-2b的等比中项，则
的最大值为 （B ）

A.
B.
C.
D.

10.不等式
的解集是 （D ）

A　
　B　

C　
　D　

11.已知函数
在
处取得极值，若
,则
的最小值是 （A ）

A． -13 B.-15 C.10 D.15

12.设
，且满足
对任意正实数，下面不等式恒成立的是 （ D ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，满分24分；把正确的答案写在题中的横线上。

13. 复数
的虚部为________.

14.若不等式
，对满足
的一切实数、、恒成立，则实数的取值范围是 ．

15．已知|x+1| + |
x–1|≥a的解集为R，则实数a的最大值　　　．

16．
的最小值为 ．B
－

三、解答题：本大题5个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b，c∈R，且



18.(1)求证：

(2)已知：
，
,证明：

略

19.用数学归纳法证明，若f(n)=1+
+
+…+
,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).

思路解析：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3,

右边=2·f(2)=2×(1+
)=3,左边=右边，等式成立.

（2）假设n=k时等式成立，即

k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k).

由已知条件可得f(k+1)=f(k)+
,

右边=(k+1)·f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）.

当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)

=［k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)］+1+f(k)(凑成归纳假设)

=kf(k)+1+f(k)(利用假设)

=（k+1）·f(k)+1

=(k+1)·［f(k+1)-
］+1

=(k+1)·f(k+1)=右边.

∴当n=k+1时，等式也成立.

由（1）（2）可知，对一切n≥2的正整数等式都成立.

20. （本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°

（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。



21.已知函数

当
时，求函数
在
上的最小值；

若
存在单调递减区间，求的取值范围.

解:(1)当
时，
的定义域为

在
上是增函数，

存在单调递减区间
有正数解，即
有
的解

①当
时，明显成立

②当
时，
为开口向下的抛物线，
总有
的解

③当
时，
为开口向上的抛物线，即
有正根，因为
=1>0，所以方程
有正根

，解得
，综上得