周口中英文学校2012-2013学年高二期中考试

数学理科试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．复数＝(　)

A．i B．－i

C．－－i D．－＋i

2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)

A．综合法 B．分析法

C．反证法 D．归纳法下列关于残差的叙述正确的是

3. 当0

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

4. 函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是

(　　)．

A．(0,1] B．[1，＋∞)

C．(－∞，－1]∪(0,1] D．[－1,0)∪(0,1]

5. 工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为 ＝60+90x，下列判断正确的是(　　)

A．劳动产值为1 000元时，工资为50元

B．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元

C．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元

D．劳动产值为1 000元时，工资为90元

6.否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为 (　　)

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

7．设f(x)＝则

?f(x)dx等于(　c　)

A. B. C. D．不存在

8.若函数f (x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是(　　)

A．(0,1) B．(－∞， 1)

C．(0，＋∞) D.

9.在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　)

A．－1

C．－

10.已知曲线y＝的一条切线斜率为，则切点的横坐标为 (　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

11.函数y＝的最大值为 (　　)

A．e－1 B．e

C．e2 D.

12.已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是

(　　)．

A．(0,1)∪(2,3) B．(0,2)

(

C．(0,3) D．(0,1]∪[2,3)

二．填空题:　本大题共4小题，每小题５分，满分2０分．

13. 已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则极大值与极小值之差为_____

14．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______

已知复数z＝，其中i是虚数单位，则|z|＝________.

16.已知a、b、u∈R＋，且＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是___

三．解答题:（本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i：

(1)与复数2－12i相等；

(2)与复数12＋16i互为共轭；

(3)对应的点在x轴上方．

18．（本小题满分12分）．观察下表：

1

2,3

4,5,6,7

8,9,10,11,12,13,14,15

……

问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？

(2)此表第n行的各个数之和是多少？

(3)2 010是第几行的第几个数？

19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.

求a，b的值；

20..如图1所示，有面积关系：＝，则在图2可以类比得到什么结论？并加以证明．

　　　　图1　　　　　　　　图2

21. (本小题满分12分)

已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1) (n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＝1，

求证：bn·bn＋2

22．(本小题满分1 2分) 已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.

(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；

(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围.

数学试题参考答案

一．选择题：

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

D

A

C

D

C

D

C

A

A

A



二．填空题：

13．4 14．  15． 16.(－∞，16]

三．解答题：

17．

解析：(1)根据复数相等的充要条件得

解之得m＝－1.

(2)根据共轭复数的定义得

解之得m＝1.

(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得

m2－2m－15>0，解之得m<－3或m>5.

18．(1)∵第n＋1行的第一个数是2n，

∴第n行的最后一个数是2n－1.

(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)

＝＝3×22n－3－2n－2为所求．

(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 010<2 048，

∴2 010在第11行，该行第1个数是210＝1 024.

由2 010－1 024＋1＝987，知2 010是第11行的第987个数．

19.解　f′(x)＝－.

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故

即解得a＝1，b＝1.

20.解析：　由题意知三棱锥作为三角形的类比对象，如图1、图2中，与△PAB、△PA′B′相对应的，是三棱锥P—ABC、P—A′B′C′；与△PA′B′两条边PA′、PB′相对应的，是三棱锥P—A′B′C′的三条侧棱PA′、PB′、PC′；与△PAB两条边PA、PB相对应的，是三棱锥P—ABC的三条侧棱PA、PB、PC.

由此，我们可以类比图1中面积关系得到图2中的体积关系为.上述猜想的证明：

21．解：(1)　由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，

又a1＝1，

所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列.

故an＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)证明　方法一　由(1)知：an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.

bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1

＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.

因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2

＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)

＝－5·2n＋4·2n＝－2n<0，

所以bn·bn＋2

方法二　因为b1＝1，

bn·bn＋2－b＝(bn＋1－2n)(bn＋1＋2n＋1)－b

＝2n＋1·bn＋1－2n·bn＋1－2n·2n＋1

＝2n(bn＋1－2n＋1)＝2n(bn＋2n－2n＋1)

＝2n(bn－2n)＝…

＝2n(b1－2)＝－2n<0，

所以bn·bn＋2

22.解：(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1.

f′(x)＝3x2－12x＋3

＝3(x2－4x＋1)

＝3(x－2＋)(x－2－)．

当x＜2－，或x＞2＋时，得f′(x)＞0；

当2－＜x＜2＋时，得f′(x)＜0.

因此f(x)递增区间是(－∞，2－)与(2＋，＋∞)；

f(x)的递减区间是(2－，2＋)．

(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3，

Δ＝36a2－36，由Δ＞0得，a＞1或a＜－1，又x1x2＝1，

可知f′(2)＜0，且f′(3)＞0，

解得＜a＜，

因此a的取值范围是.