周口中英文学校2012-2013学年下期高二期中考试

数学文科试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．复数＝(　)

A．i B．－i

C．－－i D．－＋i

2．设0

A．a B．b

C．c D．不能确定

3. 在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 (　　)

A．4＋8i B．8＋2i

C．2＋4i D．4＋i

4．工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为 ＝60+90x，下列判断正确的是(　　)

A．劳动产值为1 000元时，工资为50元

B．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元

C．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元

D．劳动产值为1 000元时，工资为90元

5．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为 (　　)

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

6. 在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　)

A．－1

C．－

7．已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为 ＝0.5＋2x，则变量x，y是(　　)

A．线性正相关关系

B．由回归方程无法判断其正负相关

C．线性负相关关系

D．不存在线性相关关系

8．观察下列各图形：

其中两个变量x、y具有相关关系的图是(　　)

①② B．①④ C．③④ D．②

9.数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 012等于 (　　)

A. B．－1

C．2 D．3

10．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是(　　)

A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2

B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2

D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2

11.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为 (　　)

A. B． 2

C．0 D．1

12. 设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于 (　　)

A．－＋i B.－i

C．－－i D.＋i

二．填空题:　本大题共4小题，每小题５分，满分2０分．

13. 若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是________．

14．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______

15．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a10＝________.

16．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是________．

三．解答题:（本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i：

(1)与复数2－12i相等；

(2)与复数12＋16i互为共轭；

(3)对应的点在x轴上方．

18．（本小题满分12分）．观察下表：

1

2,3

4,5,6,7

8,9,10,11,12,13,14,15

……

问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？

(2)此表第n行的各个数之和是多少？

(3)2 010是第几行的第几个数？

19. （本小题满分12分）如图所示，在三棱锥S—ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为a1、a2、a3，三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．

20. (本小题满分12分) 在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？

附：K2＝，

P(K2≥k)

0.05

0.10



k

3.841

2.706



21. (本小题满分12分) 已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1) (n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＝1，

求证：bn·bn＋2

22．(本小题满分12分) 已知：0<α<，0<β<，且sin(α＋β)＝2sin α，求证：α<β.

文科数学试题参考答案

一．选择题：

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

C

C

D

C

A

C

B

B

D

D



二．填空题：

13．3+i 14．  15．1000 16.4

三．解答题：

17．(1)根据复数相等的充要条件得

解之得m＝－1.

(2)根据共轭复数的定义得

解之得m＝1.

(3)根据复数z对应的点在x轴上方可得

m2－2m－15>0，解之得m<－3或m>5.

18．解析：1)∵第n＋1行的第一个数是2n，

∴第n行的最后一个数是2n－1.

(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)

＝＝3×22n－3－2n－2为所求．

(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 010<2 048，

∴2 010在第11行，该行第1个数是210＝1 024.

由2 010－1 024＋1＝987，知2 010是第11行的第987个数．

19.解　解　在△DEF中，由正弦定理，

得＝＝.

于是，类比三角形中的正弦定理，

在四面体S—ABC中，

我们猜想＝＝成立．

20.解析：根据题意，列出2×2列联表如下：

晕机

不晕机

总计



男乘客

24

31

55



女乘客

8

26

34



总计

32

57

89



假设在天气恶劣的飞行航程中，男乘客不比女乘客更容易晕机．

由公式可得K2的观测值

k＝≈3.689>2.706，

21．解：(1)　由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，

又a1＝1，

所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列.

故an＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)证明　方法一　由(1)知：an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.

bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1

＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.

因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2

＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)

＝－5·2n＋4·2n＝－2n<0，

所以bn·bn＋2

方法二　因为b1＝1，

bn·bn＋2－b＝(bn＋1－2n)(bn＋1＋2n＋1)－b

＝2n＋1·bn＋1－2n·bn＋1－2n·2n＋1

＝2n(bn＋1－2n＋1)＝2n(bn＋2n－2n＋1)

＝2n(bn－2n)＝…

＝2n(b1－2)＝－2n<0，

所以bn·bn＋2

22.证明　方法一　反证法

假设α＝β(且均为锐角)．

由于sin(α＋β)＝2sin α?sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α

?2sin αcos α＝2sin α?cos α＝1，

这与α∈相矛盾，故α≠β.

假设α>β，∵sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α.

∴cos αsin β＝sin α(2－cos β)．即＝.

由于>α>β>0，易知上式左边大于1，而右边小于1，不能成立，故α≤β.

因为α≠β且α≤β，只能是α<β.

方法二　综合法

由已知sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α，

∵0<α<，0<β<，

∴0

∴2sin α＝sin αcos β＋cos αsin β

即sin α

18. （本小题满分12分）

19. （本小题满分12分）

20. （本小题满分12分）

21. （本小题满分12分）

22. （本小题满分12分）