2013年春期南阳市部分示范高中期中考试

高二数学（文科）

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．若复数
，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为
，则输出的的值是

A． B．
C．
D．

3．用演绎法证明函数
是增函数时的小前提是

A．增函数的定义 B．函数
满足增函数的定义

C．若
，则
D．若
，则

4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为

A．
B．
C．
D．

5. 所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电. 属于哪种推理？

A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理

6．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③④

7．求S=1+3+5+……+101的流程图程序如右图所示，

其中①应为

A．

B．

C．

D．

8．在线性回归模型
中，下列说法正确的是

A．
是一次函数

B．因变量y是由自变量x唯一确定的

C．因变量y除了受自变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生

D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生

9．某单位为了了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温x(℃)

18

13

10

－1



用电量y(千瓦时)

24

34

38

64





由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为

A．58千瓦时 B．66千瓦时 C．68千瓦时 D．70千瓦时

10．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行

③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行

则正确的结论是

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

11．若定义运算：
，例如
，则下列等式不能成立的是

A．
B．

C．
D．
（
）

12．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：

在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(　　)

A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法

C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

13．若复数
是纯虚数，则实数的值为__ __ ．

14. 计算：
，
，
，

……，
．以上运用的是什么形式的推理？ __ __ ．

15. 下列表述：①综合法是执因导果法；②分析法是间接证法；③分析法是执果索因法；④反证法是直接证法．正确的语句是__ __ ．

16．观察下列式子：
，
，
，
，……，归纳得出一般规律为 ．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本题满分10分）第17届亚运会将于2014年9月18日至10月4日在韩国仁川进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱.

(1)根据调查数据制作2×2列联表；

(2)根据列联表的独立性检验，能否认为性别与喜爱运动有关?

参考数据

当
≤2.706时，无充分证据判定变量A，B有关联，可以认为两变量无关联；





当
＞2.706时，有90%把握判定变量A，B有关联；





当
＞3.841时，有95%把握判定变量A，B有关联；





当
＞6.635时，有99%把握判定变量A，B有关联。



（参考公式：
，其中
.）

18．(本小题满分12分)已知z为复数，且|z|2＋(z＋)i＝(i为虚数单位)，求z.

19.（本小题满分12分）（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.

（2）已知
试用分析法证明：
.

20．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．

21．（本题满分12分）下表是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分1至5五个档次．如：表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生有5人．现设该班任意一位学生的英语成绩为m，数学成绩为n．

n

m

数学





5

4

3

2

1



英语

5

1

3

1

0

1





4

1

0

7

5

1





3

2

1

0

9

3





2

1

b

6

0

a





1

0

0

1

1

3



（1）求m=4，n=3的概率；

（2）求在m＞3，或m=3的条件下，n=3的概率；

（3）若m=2，与n=4是相互独立的，求a、b的值．

22．(本小题满分12分)在一段时间内，某种商品价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表：

价格x

1.4

1.6

1.8

2

2.2



需求量y

12

10

7

5

3



(1)画出散点图；

(2)求出y对x的线性回归方程
；

(3)如果价格定为1. 9万元，预测需求量大约是多少．(结果精确到0.01 t)

参考公式：
,
.

高二文科数学参考答案

一．选择题：(每小题5分)

1.D .2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 C 9 C 10 B 11 C 12 A

二．填空题：(每小题5分)

13.2 ，14.归纳推理，15. ① ③ 16.

三．解答题:

17. （本题满分10分） 解:(1)

喜爱运动

不喜爱运动

合计



男

10

6

16



女

6

8

14



合计

16

14

30





(2)

所以不能认为性别与喜爱运动有关.

18. (本小题满分12分) 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

代入上述方程得x2＋y2＋2xi＝1－i，

∴x2＋y2＝1且2x＝－1，解得x＝－且y＝±.

∴复数z＝－±i.

19（1）证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，

即均小于60°， （2分）

则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立 .原命题成立 .

（2）证明：要证上式成立，需证

需证

需证

需证

需证
，

只需证1>0

因为1>0显然成立，所以原命题成立 .

20(本小题满分12分)解：在数列{an}中，∵a1＝1，a2＝＝，

a3＝＝，a4＝＝，…

∴猜想{an}的通项公式为an＝.

证明如下：

∵a1＝1，an＋1＝，∴＝＝＋，即－＝，∴数列是以＝1为首项，为公差的等差数列，

∴＝＋＝，

∴数列{an}的通项公式为an＝.

21(本小题满分12分) 解：（1）“
”的意思是：学生的英语成绩为4分，数学成绩为3分，由表可知，这样的学生共有7人，故所求概率为
；

（2）由表可知：在
或
的条件下，
的学生人数共有
人，而总数为35人，故所求概率为
；

（3）因为
与
是相互独立的，所以
，
，且
，解得
，
．

22 (本小题满分12分) 解：(1)散点图如下图所示 .

(2)＝1.8，＝7.4，iyi＝62，＝16.6，

b＝＝＝－11.5，a＝－b＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.

所以线性回归方程为y＝－11.5x＋28.1.

(3)当价格定为1.9万元，即x＝1.9时，y＝－11.5×1.9＋28.1＝6.25.所以商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25 t.